Szerk
C. 1842. Oldjuk meg a valós számok halmazán a \(\displaystyle 9^x+(6x-23)\cdot 3^x+5x^2-39x+76=0\) egyenletet.
Javasolta:Bencze MihályBrassó
Megoldás. Az \(\displaystyle y=3^x\) jelölés bevezetése után oldjuk meg az \(\displaystyle x\) paraméterű, \(\displaystyle y\)-ra nézve másodfokú
\(\displaystyle y^2+(6x-23)\cdot y+5x^2-39x+76=0 \)
egyenletet a megoldóképlet alkalmazásával:
Ebből \(\displaystyle y_1=-x+4\) és \(\displaystyle y_2=-5x + 19\).
1. eset: \(\displaystyle 3^x=-x+4\).
Mivel az \(\displaystyle f(x)=3^x\) valós számokon értelmezett függvény szigorúan monoton nő, illetve a \(\displaystyle g(x)=-x+4\) valós számokon értelmezett függvény szigorúan monoton csökken, így a két függvény grafikonjának legfeljebb egy metszéspontja van, vagyis az egyenletnek legfeljebb egy megoldása van. Az \(\displaystyle x=1\) pedig megoldás.
2. eset: \(\displaystyle 3^x=-5x+19\).
Az előzőekhez hasonlóan mivel az \(\displaystyle f(x)=3^x\) valós számokon értelmezett függvény szigorúan monoton nő, illetve a \(\displaystyle g(x)=-5x+19\) valós számokon értelmezett függvény szigorúan monoton csökken, így a két függvény grafikonjának legfeljebb egy metszéspontja van, vagyis az egyenletnek legfeljebb egy megoldása van. Az \(\displaystyle x=2\) pedig megoldás.
Ellenőrzések:
Pánovics MátéPTE Gyak. Ált. Isk., Gimn. és Óv. Babits M. Gimn., 12. o. t.dolgozata alapján
Megjegyzés. Lényegében minden megoldó bevezette az \(\displaystyle y=3^x\) jelölést, amellyel az egyenlet a következő alakba írható át:
\(\displaystyle y^2+(6x-23)\cdot y+5x^2-39x+76=0. \)
A megoldás második lépéseként vagy szorzattá alakították az egyenlet bal oldalát, vagy megoldóképlettel megoldották mint paraméteres, \(\displaystyle y\)-ra nézve másodfokú egyenlet.
A megoldás befejezéséhez az \(\displaystyle x\)-re nézve exponenciális tagot is tartalmazó egyenleteket a bennük szereplő kifejezések monotonitására történő hivatkozással – amelyhez használhattak deriválást, vagy egyszerű függvénytani megfigyeléseket is a második lépéstől függetlenül – oldották meg. A megoldások ellenőrzésével tették végül teljessé a megoldást.
A feladatra összesen 43 versenyző és csapat küldött megoldást. 5 pontos 14, 4 pontos 21, 3 pontos 4, 2 pontos 1. 1 pontot 0, 0 pontot pedig 3 versenyző kapott.
C. 1847. Az \(\displaystyle ABCD\) négyzet \(\displaystyle AD\) oldalán válasszuk ki úgy a \(\displaystyle P\) pontot, hogy \(\displaystyle CPA\sphericalangle=105^{\circ}\) legyen. A \(\displaystyle CP\) egyenesre az \(\displaystyle A\) pontból bocsássunk merőlegest, amelynek talppontját jelölje \(\displaystyle Q\). Határozzuk meg az \(\displaystyle ABQ\) és az \(\displaystyle ACP\) háromszögek területe arányának pontos értékét.
Javasolta:Bíró BálintEger
G. 896. Öt ellenállást kapcsolunk az ábra szerint egy 24 V-os feszültségforrás \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) kimenetére. Az ellenállások: \(\displaystyle R_1=40~\Omega\), \(\displaystyle R_2=50~\Omega\), \(\displaystyle R_3=R_4=10~\Omega\) és \(\displaystyle R_5=20~\Omega\).
a) Határozzuk meg az áramkör eredő ellenállását a kapcsoló zárt és nyitott állásában!
b) Mennyivel változik meg az \(\displaystyle R_4\) ellenállás teljesítménye, ha a zárt kapcsolót kinyitjuk?
(4 pont)
Közli: Veres Dénes, Szolnok
A KöMaL pontversenyeihez és Ifjúsági Ankétjához a MATFUND Alapítvány részére a Nemzeti Tehetség Program a 2024. július 1. és 2025. augusztus 31. közötti időszakra tizenhétmillió forint támogatást biztosított (NTP-TMV-M-24-M-0003).
A Nemzeti Kulturális Alap a KöMaL kiadását 1 900 000 forinttal (NKA-LAP), a 2023. október 29-30-án megrendezett KöMaL Ankét megszervezését 2 000 000 forinttal (NKA (201108/03268),továbbá a 2024. július első hetében megszervezett KöMaL nyári matematika és fizika tehetséggondozó tábor megrendezését 2 000 000 forinttal (201108/03268) támogatta. A nyári tábor idén sem jöhetett volna létre az AIT támogatása nélkül. Köszönjük továbbá a dombóvári Hotel Európának, hogy sokadik éve biztosít helyszínt táborunknak.
Azok is figyelmesen olvassák el a Versenykiírást, akik tavaly már részt vettek versenyünkben.
Idén is matematikából, fizikából és informatikából indítunk versenyeket. Egyénileg, illetve csapatban is lehet versenyezni, a versenyek 9 hónapon keresztül, 2025. szeptemberétől 2026. június elejéig tartanak. Minden hónapban új feladatokat tűzünk ki, és a megoldásokat a következő hónap elejéig küldheted be. A verseny végeredményét a 2026. szeptemberi számunkban hirdetjük ki. A díjakat jövő ősszel, a KöMaL Ifjúsági Ankéton adjuk át.
Kevés az olyan egyenlettípus, amely zárt alakban megoldható, a legtöbb esetben valamilyen numerikus megoldáshoz kell folyamodnunk. Mindig lehetőségünk van a próbálgatásra, amit ügyesen végrehajtva megbízható eredményre juthatunk, de bizonyos esetekben a megoldás megkeresésére szisztematikus, könnyen automatizálható eljárás is a rendelkezésünkre áll. Az alábbiakban egy ilyet mutatunk be. Ez az
típusú egyenletek esetében alkalmazható, és az \(\displaystyle f(x)\) függvények egy széles osztályában eredményes. A módszer lényege, hogy az
\(\displaystyle x_{n+1}=f(x_n) \)
képzési szabály segítségével egy sorozatot generálunk.
Az Eötvös Loránd Fizikai Társulat 2025. évi Eötvös-versenye október 17-én délután 3 órai kezdettel tíz magyarországi helyszínen került megrendezésre. Az ünnepélyes eredményhirdetésre és díjkiosztásra 2025. november 28-án délután került sor az ELTE TTK Eötvös termében. Megemlékeztünk az 50 és 25 évvel ezelőtti Eötvös-versenyről, ismertettük az akkori feladatokat és a győztesek nevét. Az 50 évvel ezelőtti díjazottak közül Virosztek Attila, a 25 évvel ezelőttiek közül Pozsgay Balázs volt jelen – ők röviden beszéltek a versennyel kapcsolatos emlékeikről és a pályafutásukról. Az 50 évvel ezelőtti II. díjas Zimányi Gergely videóüdvözletet, a 25 évvel ezelőtti I. díjas Buruzs Ádám pedig szöveges üzenetet küldött a jelenlévőknek.
25. alkalommal adták át a Rátz Tanár úr életműdíjakat összesen nyolc kiváló tanár részére:
Kántor Sándorné, Dr. Pintér Klára, Ábrám László, Horváth Norbert, Karasz Gyöngyi, Nagy István, Bódis Bertalan, Mándics Dezső.
A kitüntetettek részletes bemutatása és az évente megújuló felhívás megtalálható a Rátz Tanár Úr Életműdíj hivatalos honlapján: https://www.ratztanarurdij.hu/
Idén Miskolc vendégül a matematikatanárok csapatát a Rátz László Vándorgyűlés keretei között. Négy szekcióban zajlottak a szemináriumok és az előadások, ezen kívül átadták a Bolyai János Matematikai Társulat Beke Manó Emlékdíjait és a Reményi díjakat az országos matematikaversenyeken kiváló eredményt elért tanulók tanárainak.
M. 443. Mobiltelefon fényérzékelőjét használva mutassuk meg, hogy a fényintenzitás inverz négyzetesen függ egy pontszerű fényforrástól mért távolságtól! Hogyan válasszuk a kísérleti körülményeket ahhoz, hogy minél pontosabban tudjuk igazolni ezt az összefüggést?
Közli: Vadász Gergely, Solymár
