Szerk
C. 1842. Oldjuk meg a valós számok halmazán a \(\displaystyle 9^x+(6x-23)\cdot 3^x+5x^2-39x+76=0\) egyenletet.
Javasolta: Bencze Mihály (Brassó
Megoldás. Az \(\displaystyle y=3^x\) jelölés bevezetése után oldjuk meg az \(\displaystyle x\) paraméterű, \(\displaystyle y\)-ra nézve másodfokú
\(\displaystyle y^2+(6x-23)\cdot y+5x^2-39x+76=0 \)
egyenletet a megoldóképlet alkalmazásával:
Ebből \(\displaystyle y_1=-x+4\) és \(\displaystyle y_2=-5x + 19\).
1. eset: \(\displaystyle 3^x=-x+4\).
Mivel az \(\displaystyle f(x)=3^x\) valós számokon értelmezett függvény szigorúan monoton nő, illetve a \(\displaystyle g(x)=-x+4\) valós számokon értelmezett függvény szigorúan monoton csökken, így a két függvény grafikonjának legfeljebb egy metszéspontja van, vagyis az egyenletnek legfeljebb egy megoldása van. Az \(\displaystyle x=1\) pedig megoldás.
2. eset: \(\displaystyle 3^x=-5x+19\).
Az előzőekhez hasonlóan mivel az \(\displaystyle f(x)=3^x\) valós számokon értelmezett függvény szigorúan monoton nő, illetve a \(\displaystyle g(x)=-5x+19\) valós számokon értelmezett függvény szigorúan monoton csökken, így a két függvény grafikonjának legfeljebb egy metszéspontja van, vagyis az egyenletnek legfeljebb egy megoldása van. Az \(\displaystyle x=2\) pedig megoldás.
Ellenőrzések:
Pánovics MátéPTE Gyak. Ált. Isk., Gimn. és Óv. Babits M. Gimn., 12. o. t.dolgozata alapján
Megjegyzés. Lényegében minden megoldó bevezette az \(\displaystyle y=3^x\) jelölést, amellyel az egyenlet a következő alakba írható át:
\(\displaystyle y^2+(6x-23)\cdot y+5x^2-39x+76=0. \)
A megoldás második lépéseként vagy szorzattá alakították az egyenlet bal oldalát, vagy megoldóképlettel megoldották mint paraméteres, \(\displaystyle y\)-ra nézve másodfokú egyenlet.
A megoldás befejezéséhez az \(\displaystyle x\)-re nézve exponenciális tagot is tartalmazó egyenleteket a bennük szereplő kifejezések monotonitására történő hivatkozással – amelyhez használhattak deriválást, vagy egyszerű függvénytani megfigyeléseket is a második lépéstől függetlenül – oldották meg. A megoldások ellenőrzésével tették végül teljessé a megoldást.
A feladatra összesen 43 versenyző és csapat küldött megoldást. 5 pontos 14, 4 pontos 21, 3 pontos 4, 2 pontos 1. 1 pontot 0, 0 pontot pedig 3 versenyző kapott.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Nem kell túl sokáig keresgélnünk az interneten a fejtörő feladatok között ahhoz, hogy sík vagy tér kitöltésére vonatkozó feladványra bukkanjunk. Ezek egyik fajtája az, amikor néhány síkidom vagy test valamilyen keretben van elhelyezve úgy, hogy látszólag teljesen kitöltik azt, de van még külön egy további eleme a játéknak.
B. 5453. Egy konvex polidéder lapjai az \(\displaystyle ABCD\), \(\displaystyle ABFE\), \(\displaystyle BCGF\), \(\displaystyle CDHG\), \(\displaystyle ADHE\) és \(\displaystyle EFGH\) négyszögek az ábra szerint. Az \(\displaystyle A\), illetve a \(\displaystyle G\) csúcsból induló élek páronként merőlegesek egymásra. Igazoljuk, hogy
\(\displaystyle [ABCD]^2+[ABFE]^2+[ADHE]^2 = [BCGF]^2+[CDHG]^2+[EFGH]^2. \)
(\(\displaystyle [XYZW]\) az \(\displaystyle XYZW\) négyszög területét jelöli.)
Javasolta: Kós Géza(Budapest)
