Szerk
M. 443. Mobiltelefon fényérzékelőjét használva mutassuk meg, hogy a fényintenzitás inverz négyzetesen függ egy pontszerű fényforrástól mért távolságtól! Hogyan válasszuk a kísérleti körülményeket ahhoz, hogy minél pontosabban tudjuk igazolni ezt az összefüggést?
(6 pont)
Közli: Vadász Gergely, Solymár
Megoldás. A mérés célja, hogy bizonyítsuk, a fényintenzitás inverz négyzetesen függ egy pontszerű fényforrástól mért távolságtól. A fényintenzitás azt mutatja meg, hogy egységnyi területre mekkora fényáram esik. Egy pontszerű fényforrás adott nagyságú fényáramot bocsát ki minden irányba, így ha távolabb megyünk tőle, az nagyobb felületen oszlik el, így a fényintenzitás csökken. Az \(\displaystyle I\) fényintenzitás az alábbi képlet szerint függ az izzótól mért \(\displaystyle d\) távolságtól:
\(\displaystyle I=A\,d^n, \)
ahol \(\displaystyle A\) egy \(\displaystyle d\)-től független állandó, a kitevőre pedig \(\displaystyle n=-2\) értéket várunk. Ha a kifejezés mindkét oldalának vesszük a logaritmusát, akkor a
\(\displaystyle \lg I=n\lg d+\lg A \)
összefüggést kapjuk. Ha ábrázoljuk \(\displaystyle \lg I\)-t \(\displaystyle \lg d\) függvényében, akkor a pontokra illesztett egyenes meredekségből meghatározhatjuk \(\displaystyle n\) értékét.
A mérési elrendezés az 1. ábrán látható. A mérést besötétített szobában végeztük, így az izzó bekapcsolása előtt a telefon 0 lx fényintenzitást mért. Az áramforrás bekapcsolása után vártunk kb. egy percet, hogy bemelegedjen az izzó. A fényintenzitást a mobiltelefon Physics Toolbox alkalmazás Fényérzékelő funkciójával mértük.
1. ábra
Többször mértünk, és ezekből az öt legjobban sikerültet közöljük. A mérést kétféle izzóval, azonos, 6 V-os feszültségen végeztük. Adott távolságra beállítottuk a mobiltelefont, leolvastuk az \(\displaystyle I\) fényintenzitást a kijelzőről és a \(\displaystyle d\) távolság értékét, majd másik távolságra állítottuk a mobiltelefont, és ezt ismételtük. Minden mérés során 8 távolságon mértünk, egymáshoz képest 10 cm-es eltérésekkel.
A stabil elrendezés és a zavaró körülmények kiküszöbölése ellenére nagyon gyorsan változó, ingadozó értéket kaptunk minden egyes távolságnál. A váltakozó értékek maximuma és minimuma között 4–8 lx, az izzóhoz közelebb akár 40–80 lx is volt. Ezek átlagát vettük minden esetben, vagy azt az értéket, amely leggyakrabban jelent meg a képernyőn.
A mért adatokat táblázatba foglaltuk (a \(\displaystyle d\) távolságok méterben, az \(\displaystyle I\) intenzitások luxban megadva), majd \(\displaystyle \lg I\)-t \(\displaystyle \lg d\) függvényében ábrázoltuk, és az adatsorokra egyenest illesztettünk (2. ábra).
2. ábra
Az illesztett egyenesek meredekségéből az egyes méréseknél a kitevők:
\(\displaystyle n_1=-1{,}90;\quad n_2=-2{,}00;\quad n_3=-2{,}12;\quad n_4=-2{,}21;\quad n_5=-1{,}92. \)
A kapott \(\displaystyle n\) értékek átlaga és szórása:
\(\displaystyle n=-2{,}03\pm 0{,}12. \)
Ezzel a kívánt összefüggést hibahatáron belül igazoltuk: a fényintenzitás valóban inverz négyzetesen függ egy pontszerű fényforrástól mért távolságtól.
A relatív hiba 6%, de a mérés tényleges hibája ennél valamivel nagyobb lehet az említett instabil fényintenzitás-értékek miatt.
Megfelelő körülmények a mérés pontosításához:
A mérést éjszaka, lehúzott redőnyökkel és minden külső fényforrás kikapcsolásával kellene elvégezni, így biztosan nem szűrődne be fény.
Az izzó megfelelő megválasztása fontos. Kellően kicsi, és minden irányba világító fényforrásra van szükség, így valóban pontszerűnek lehetne tekinteni.
A távolságot a fényforrás közepétől (nem az állvány), illetve a telefon fényérzékelőjének síkjától kell mérni.
Nagyon stabil rögzítést igényel a telefon, hogy merőleges legyen a felülete az izzóhoz húzott egyenesre (ha kicsit is csúszkál, akkor már nem biztosított ez, és a mérés pontatlanná válik).
A mérés körül matt háttér szükséges, hogy ne verjen vissza fényt.
A mérés nagyon sokszori megismétlése nem teszi pontosabbá a mérést, ha nem küszöböljük ki az elrendezésből adódó pontatlanságokat.
A Satírozzál ki egy hetet, ,,adatvesztés'' történhetett csapat:Papp Emese Petra (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., 11. évf.)és Kis Boglárka (Kecskeméti Katona J. Gimn., 11. évf.)
Megjegyzések. 1. Több megoldó LED-et használt fényforrásként. A LED biztosan nem gömbszimmetrikusan bocsát ki fényt, de a mérés kicsiny térszögtartományában legalább annyira egyenletes megvilágítást hoz létre, mint egy izzó.
2. A fényforrás pontszerűsége egy közvetlenül elé helyezett kicsiny diafragmával (kör alakú nyílással) javítható.
3. Az inverz négyzetes összefüggés igazolására a logaritmikus ábrázolás helyett az \(\displaystyle I\) intenzitás \(\displaystyle d^{-2}\) függvényében való ábrázolása is megfelelő: ekkor azt kell vizsgálni, hogy a mérési pontok valóban (hibahatáron belül) egy egyenesen fekszenek-e.
4. Erdélyi Dominik (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 12. évf.) olyan modellt készített, amely figyelembe veszi egyrészt a háttérfény által okozott \(\displaystyle I_0\) intenzitást, másrészt a fényforrás és a szenzor valódi helyzetének kicsiny \(\displaystyle \delta\) eltérését a távolságmérés síkjaitól. Ekkor a mérési adatokra az \(\displaystyle I(d)=A(d+\delta)^{-2}+I_0\) függvényt kell illeszteni, amelyből \(\displaystyle I_0\) és \(\displaystyle \delta\) meghatározható.
19 dolgozat érkezett. Helyes 6 megoldás. Kicsit hiányos (4–5 pont) 10, hiányos (3 pont) 1, hibás 2 dolgozat.
P. 5670. Két, egymást merőlegesen keresztező úton egy-egy motoros halad. Az egyik sebessége \(\displaystyle v_1\), a másiké \(\displaystyle v_2\), és az egymástól való legkisebb távolságuk \(\displaystyle d_0\). Milyen távolságra vannak ekkor a kereszteződéstől?
Az egyszerűség kedvéért mindkét járművet tekintsük pontszerűnek.
Közli: Woynarovich Ferenc, Budapest
P. 5660. Egy pontszerűnek tekinthető, \(\displaystyle m\) tömegű, átfúrt golyó az ábra szerint egy \(\displaystyle R\) sugarú, vízszintes átmérőjű, függőleges síkú, félkör alakú, rögzített, merev drótra van fűzve, amelyen súrlódásmentesen csúszhat. A golyóhoz egy vékony fonál van kötve, amely a drót \(\displaystyle C\) végén lévő, kicsiny csigán van átvetve. A fonál másik végéhez egy ugyancsak \(\displaystyle m\) tömegű nehezék van erősítve. A bal oldali golyót a fonál vízszintes helyzetéből lökésmentesen elengedjük, amikor a fonál \(\displaystyle \alpha=0^\circ\)-os szöget zár be a vízszintes átmérővel.
a) Mekkora sebességgel mozognak a testek, amikor a bal oldali test a drótpálya legalsó pontján halad át?
b) Mekkora a testek gyorsulása ebben a pillanatban?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
M. 444. Határozzuk meg egy AA-s ceruzaelem szimmetriatengelyére és egy arra merőleges, a tömegközépponton áthaladó tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékait!
Közli: Széchenyi Gábor, Budapest
Megoldás. Az elem tömege (konyhai mérleggel mérve): \(\displaystyle m=24~\mathrm{g}\), hossza \(\displaystyle L=48~\mathrm{mm}\), átmérője (digitális tolómérővel mérve): \(\displaystyle d=14{,}2~\mathrm{mm}\), amiből a sugara: \(\displaystyle {r=d/2=7{,}1~\mathrm{mm}}\). A mérés során a szimmetriatengelyre vonatkozó \(\displaystyle \Theta_\parallel\), illetve az arra merőleges tengelyre vonatkozó \(\displaystyle \Theta_\perp\) tehetetlenségi nyomatékot egy-egy egymástól eltérő módszerrel mérjük meg.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Azok is figyelmesen olvassák el a Versenykiírást, akik tavaly már részt vettek versenyünkben.
Idén is matematikából, fizikából és informatikából indítunk versenyeket. Egyénileg, illetve csapatban is lehet versenyezni, a versenyek 9 hónapon keresztül, 2025. szeptemberétől 2026. június elejéig tartanak. Minden hónapban új feladatokat tűzünk ki, és a megoldásokat a következő hónap elejéig küldheted be. A verseny végeredményét a 2026. szeptemberi számunkban hirdetjük ki. A díjakat jövő ősszel, a KöMaL Ifjúsági Ankéton adjuk át.
G. 900. Megválasztható-e az ábrán látható ohmos ellenállások (nullától különböző) nagysága úgy, hogy az eredő ellenállás az a) és b) esetekben egyenlő legyen?
de Châtel Péter (1940–2023) feladata nyomán
A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.
Megrendelem
Kevés az olyan egyenlettípus, amely zárt alakban megoldható, a legtöbb esetben valamilyen numerikus megoldáshoz kell folyamodnunk. Mindig lehetőségünk van a próbálgatásra, amit ügyesen végrehajtva megbízható eredményre juthatunk, de bizonyos esetekben a megoldás megkeresésére szisztematikus, könnyen automatizálható eljárás is a rendelkezésünkre áll. Az alábbiakban egy ilyet mutatunk be. Ez az
típusú egyenletek esetében alkalmazható, és az \(\displaystyle f(x)\) függvények egy széles osztályában eredményes. A módszer lényege, hogy az
\(\displaystyle x_{n+1}=f(x_n) \)
képzési szabály segítségével egy sorozatot generálunk.
A Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok évről évre bővülő számú évfolyama – jelenleg 1893–1901-ig és 1965 és 2019 között – többféle szempont szerint kereshető, és a kiválogatott feladatok, cikkek kinyomtathatóak. Az összetett kereséssel igazi kincsestárban kutathatnak ingyenesen az olvasók: lehet keresni cikkekben és feladatokban többek között cím, szöveg, kategória (pl. versenyek), témakör és név alapján.
A Hanoi tornyai egy olyan feladvány, amelyben három függőleges pálcán van \(\displaystyle n\) db, különböző külső átmérőjű lyukas korong [2]. A hagyományos kiindulási állapotban a bal szélső pálcán van az összes korong, fentről lefelé növekvő méretben, a célállapot pedig ugyanez a korongpiramis, csak a jobb szélső pálcán. Két egyszerű szabályt kell betartani: minden lépésben valamelyik pálca legfelső korongját tehetjük egy másik pálca tetejére, továbbá semelyik korongot sem szabad nála kisebb korongra tenni. Igazolható, hogy a szükséges lépésszám \(\displaystyle 2^n - 1\), azaz minden egyes korong hozzáadásával lényegében megduplázódik.
Ha egy négyzetet a két átlójával felosztunk négy háromszögre, majd ezeket kiszínezzük három színnel az összes lehetséges módon, akkor megkapjuk a négyzetes színdominókat.
A színdominókat először a múlt század elején írta le Percy Alexander MacMahon, a kalandos életű matematikus. Ő rögtön megadott több nehéz feladatot is hozzájuk.
