Az M. 443. mérési feladat megoldása
Szerk
M. 443. Mobiltelefon fényérzékelőjét használva mutassuk meg, hogy a fényintenzitás inverz négyzetesen függ egy pontszerű fényforrástól mért távolságtól! Hogyan válasszuk a kísérleti körülményeket ahhoz, hogy minél pontosabban tudjuk igazolni ezt az összefüggést?
(6 pont)
Közli: Vadász Gergely, Solymár
Megoldás. A mérés célja, hogy bizonyítsuk, a fényintenzitás inverz négyzetesen függ egy pontszerű fényforrástól mért távolságtól. A fényintenzitás azt mutatja meg, hogy egységnyi területre mekkora fényáram esik. Egy pontszerű fényforrás adott nagyságú fényáramot bocsát ki minden irányba, így ha távolabb megyünk tőle, az nagyobb felületen oszlik el, így a fényintenzitás csökken. Az \(\displaystyle I\) fényintenzitás az alábbi képlet szerint függ az izzótól mért \(\displaystyle d\) távolságtól:
\(\displaystyle I=A\,d^n, \)
ahol \(\displaystyle A\) egy \(\displaystyle d\)-től független állandó, a kitevőre pedig \(\displaystyle n=-2\) értéket várunk. Ha a kifejezés mindkét oldalának vesszük a logaritmusát, akkor a
\(\displaystyle \lg I=n\lg d+\lg A \)
összefüggést kapjuk. Ha ábrázoljuk \(\displaystyle \lg I\)-t \(\displaystyle \lg d\) függvényében, akkor a pontokra illesztett egyenes meredekségből meghatározhatjuk \(\displaystyle n\) értékét.
A mérési elrendezés az 1. ábrán látható. A mérést besötétített szobában végeztük, így az izzó bekapcsolása előtt a telefon 0 lx fényintenzitást mért. Az áramforrás bekapcsolása után vártunk kb. egy percet, hogy bemelegedjen az izzó. A fényintenzitást a mobiltelefon Physics Toolbox alkalmazás Fényérzékelő funkciójával mértük.
1. ábra
Többször mértünk, és ezekből az öt legjobban sikerültet közöljük. A mérést kétféle izzóval, azonos, 6 V-os feszültségen végeztük. Adott távolságra beállítottuk a mobiltelefont, leolvastuk az \(\displaystyle I\) fényintenzitást a kijelzőről és a \(\displaystyle d\) távolság értékét, majd másik távolságra állítottuk a mobiltelefont, és ezt ismételtük. Minden mérés során 8 távolságon mértünk, egymáshoz képest 10 cm-es eltérésekkel.
A stabil elrendezés és a zavaró körülmények kiküszöbölése ellenére nagyon gyorsan változó, ingadozó értéket kaptunk minden egyes távolságnál. A váltakozó értékek maximuma és minimuma között 4–8 lx, az izzóhoz közelebb akár 40–80 lx is volt. Ezek átlagát vettük minden esetben, vagy azt az értéket, amely leggyakrabban jelent meg a képernyőn.
A mért adatokat táblázatba foglaltuk (a \(\displaystyle d\) távolságok méterben, az \(\displaystyle I\) intenzitások luxban megadva), majd \(\displaystyle \lg I\)-t \(\displaystyle \lg d\) függvényében ábrázoltuk, és az adatsorokra egyenest illesztettünk (2. ábra).
| 1. mérés | 2. mérés | 3. mérés | 4. mérés | 5. mérés | |||||||
| \(\displaystyle d\) | \(\displaystyle \lg d\) | \(\displaystyle I\) | \(\displaystyle \lg I\) | \(\displaystyle I\) | \(\displaystyle \lg I\) | \(\displaystyle I\) | \(\displaystyle \lg I\) | \(\displaystyle I\) | \(\displaystyle \lg I\) | \(\displaystyle I\) | \(\displaystyle \lg I\) |
| \(\displaystyle 0{,}10\) | \(\displaystyle -1{,}00\) | \(\displaystyle 1198\) | \(\displaystyle 3{,}08\) | ||||||||
| \(\displaystyle 0{,}20\) | \(\displaystyle -0{,}70\) | \(\displaystyle 571\) | \(\displaystyle 2{,}76\) | \(\displaystyle 267\) | \(\displaystyle 2{,}43\) | \(\displaystyle 77\) | \(\displaystyle 1{,}89\) | \(\displaystyle 305\) | \(\displaystyle 2{,}48\) | \(\displaystyle 278\) | \(\displaystyle 2{,}44\) |
| \(\displaystyle 0{,}30\) | \(\displaystyle -0{,}52\) | \(\displaystyle 254\) | \(\displaystyle 2{,}41\) | \(\displaystyle 143\) | \(\displaystyle 2{,}16\) | \(\displaystyle 28\) | \(\displaystyle 1{,}45\) | \(\displaystyle 139\) | \(\displaystyle 2{,}14\) | \(\displaystyle 141\) | \(\displaystyle 2{,}15\) |
| \(\displaystyle 0{,}40\) | \(\displaystyle -0{,}40\) | \(\displaystyle 150\) | \(\displaystyle 2{,}18\) | \(\displaystyle 66\) | \(\displaystyle 1{,}82\) | \(\displaystyle 15\) | \(\displaystyle 1{,}18\) | \(\displaystyle 60\) | \(\displaystyle 1{,}78\) | \(\displaystyle 76\) | \(\displaystyle 1{,}88\) |
| \(\displaystyle 0{,}50\) | \(\displaystyle -0{,}30\) | \(\displaystyle 110\) | \(\displaystyle 2{,}04\) | \(\displaystyle 44\) | \(\displaystyle 1{,}64\) | \(\displaystyle 9\) | \(\displaystyle 0{,}95\) | \(\displaystyle 41\) | \(\displaystyle 1{,}61\) | \(\displaystyle 47\) | \(\displaystyle 1{,}67\) |
| \(\displaystyle 0{,}60\) | \(\displaystyle -0{,}22\) | \(\displaystyle 70\) | \(\displaystyle 1{,}85\) | \(\displaystyle 31\) | \(\displaystyle 1{,}49\) | \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 0{,}85\) | \(\displaystyle 22\) | \(\displaystyle 1{,}34\) | \(\displaystyle 37\) | \(\displaystyle 1{,}57\) |
| \(\displaystyle 0{,}70\) | \(\displaystyle -0{,}16\) | \(\displaystyle 50\) | \(\displaystyle 1{,}70\) | \(\displaystyle 23\) | \(\displaystyle 1{,}36\) | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 0{,}70\) | \(\displaystyle 17\) | \(\displaystyle 1{,}23\) | \(\displaystyle 26\) | \(\displaystyle 1{,}42\) |
| \(\displaystyle 0{,}80\) | \(\displaystyle -0{,}10\) | \(\displaystyle 18\) | \(\displaystyle 1{,}26\) | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 0{,}60\) | \(\displaystyle 14\) | \(\displaystyle 1{,}15\) | 23 | \(\displaystyle 1{,}36\) | ||
| \(\displaystyle 0{,}90\) | \(\displaystyle -0{,}05\) | \(\displaystyle 12\) | 1,08 | \(\displaystyle 17\) | \(\displaystyle 1{,}23\) | ||||||
| \(\displaystyle 1{,}00\) | \(\displaystyle 0{,}00\) | \(\displaystyle 9{,}5\) | \(\displaystyle 0{,}98\) | ||||||||
2. ábra
Az illesztett egyenesek meredekségéből az egyes méréseknél a kitevők:
\(\displaystyle n_1=-1{,}90;\quad n_2=-2{,}00;\quad n_3=-2{,}12;\quad n_4=-2{,}21;\quad n_5=-1{,}92. \)
A kapott \(\displaystyle n\) értékek átlaga és szórása:
\(\displaystyle n=-2{,}03\pm 0{,}12. \)
Ezzel a kívánt összefüggést hibahatáron belül igazoltuk: a fényintenzitás valóban inverz négyzetesen függ egy pontszerű fényforrástól mért távolságtól.
A relatív hiba 6%, de a mérés tényleges hibája ennél valamivel nagyobb lehet az említett instabil fényintenzitás-értékek miatt.
Megfelelő körülmények a mérés pontosításához:
A mérést éjszaka, lehúzott redőnyökkel és minden külső fényforrás kikapcsolásával kellene elvégezni, így biztosan nem szűrődne be fény.
Az izzó megfelelő megválasztása fontos. Kellően kicsi, és minden irányba világító fényforrásra van szükség, így valóban pontszerűnek lehetne tekinteni.
A távolságot a fényforrás közepétől (nem az állvány), illetve a telefon fényérzékelőjének síkjától kell mérni.
Nagyon stabil rögzítést igényel a telefon, hogy merőleges legyen a felülete az izzóhoz húzott egyenesre (ha kicsit is csúszkál, akkor már nem biztosított ez, és a mérés pontatlanná válik).
A mérés körül matt háttér szükséges, hogy ne verjen vissza fényt.
A mérés nagyon sokszori megismétlése nem teszi pontosabbá a mérést, ha nem küszöböljük ki az elrendezésből adódó pontatlanságokat.
A Satírozzál ki egy hetet, ,,adatvesztés'' történhetett csapat:
Papp Emese Petra (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., 11. évf.)
és Kis Boglárka (Kecskeméti Katona J. Gimn., 11. évf.)
Megjegyzések. 1. Több megoldó LED-et használt fényforrásként. A LED biztosan nem gömbszimmetrikusan bocsát ki fényt, de a mérés kicsiny térszögtartományában legalább annyira egyenletes megvilágítást hoz létre, mint egy izzó.
2. A fényforrás pontszerűsége egy közvetlenül elé helyezett kicsiny diafragmával (kör alakú nyílással) javítható.
3. Az inverz négyzetes összefüggés igazolására a logaritmikus ábrázolás helyett az \(\displaystyle I\) intenzitás \(\displaystyle d^{-2}\) függvényében való ábrázolása is megfelelő: ekkor azt kell vizsgálni, hogy a mérési pontok valóban (hibahatáron belül) egy egyenesen fekszenek-e.
4. Erdélyi Dominik (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 12. évf.) olyan modellt készített, amely figyelembe veszi egyrészt a háttérfény által okozott \(\displaystyle I_0\) intenzitást, másrészt a fényforrás és a szenzor valódi helyzetének kicsiny \(\displaystyle \delta\) eltérését a távolságmérés síkjaitól. Ekkor a mérési adatokra az \(\displaystyle I(d)=A(d+\delta)^{-2}+I_0\) függvényt kell illeszteni, amelyből \(\displaystyle I_0\) és \(\displaystyle \delta\) meghatározható.
19 dolgozat érkezett. Helyes 6 megoldás. Kicsit hiányos (4–5 pont) 10, hiányos (3 pont) 1, hibás 2 dolgozat.