Egy egyszerű egyenletmegoldó eljárás

Woynarovich Ferenc

Kevés az olyan egyenlettípus, amely zárt alakban megoldható, a legtöbb esetben valamilyen numerikus megoldáshoz kell folyamodnunk. Mindig lehetőségünk van a próbálgatásra, amit ügyesen végrehajtva megbízható eredményre juthatunk, de bizonyos esetekben a megoldás megkeresésére szisztematikus, könnyen automatizálható eljárás is a rendelkezésünkre áll. Az alábbiakban egy ilyet mutatunk be. Ez az

típusú egyenletek esetében alkalmazható, és az \(\displaystyle f(x)\) függvények egy széles osztályában eredményes. A módszer lényege, hogy az

\(\displaystyle x_{n+1}=f(x_n) \)

képzési szabály segítségével egy sorozatot generálunk. Ennek a sorozatnak az elemei az \(\displaystyle f(x)\) megfelelő tulajdonságai esetén egyre pontosabban megközelítenek egy, a kiinduló \(\displaystyle x_1\) megválasztásától független

\(\displaystyle x_\infty=\xi \)

értéket, ami nyilván az egyenletünk megoldása, hisz tetszőleges pontossággal teljesül, hogy:

A továbbiakban \(\displaystyle x\) általában az egyenletben szereplő változót, \(\displaystyle \xi\) pedig mindig az egyenlet megoldását jelöli.

A módszer működése az 1. ábrán szemléletesen követhető.

1. ábra

Az eljárás nem mindig konvergál: ha az \(\displaystyle y=f(x)\) függvény görbéje túl meredeken metszi az \(\displaystyle y=x\) egyenest, akkor a sorozatnak nincs határértéke, a tagjai az \(\displaystyle n\) növekedésével egyre messzebb kerülnek a megoldástól (2. ábra).

2. ábra

Ahhoz, hogy az eljárás konvergenciájára kvantitatív feltételeket állapíthassunk meg, vizsgáljuk meg (az amúgy analitikusan is kezelhető) \(\displaystyle f(x)=mx+b\) lineáris függvény esetét! Az

\(\displaystyle x_{n+1}=mx_n+b \)

rekurzió szerint

Látni való, hogy ez a kifejezés az \(\displaystyle n\to\infty\) esetben az

\(\displaystyle x_\infty=\frac{b}{1-m} \)

értékhez tart, ha \(\displaystyle |m|<1\), de nincs határértéke, ha \(\displaystyle |m|\geq 1\). A két egyenes metszéspontja bármely \(\displaystyle m\not=1\) érték mellett \(\displaystyle \xi={b}/({1-m})\)-nél van, de ezt az eljárás csak \(\displaystyle |m|<1\) esetén adja vissza. Tekintettel arra, hogy a számunkra érdekes (fizikában előforduló) folytonos és sima függvények a metszéspont környékén jó közelítéssel egyenessel helyettesíthetők, azt mondhatjuk: ha az \(\displaystyle y=f(x)\) függvény az \(\displaystyle y=x\) egyenest úgy metszi, hogy a \(\displaystyle \xi\) metszéspontban az \(\displaystyle m_f\) meredeksége \(\displaystyle +1\) és \(\displaystyle -1\) közé esik, azaz \(\displaystyle |m_f|<1\), akkor az algoritmus a metszéspont közeléből indítva konvergens. Az eddigieket végiggondolva a következő precíz megállapítást tehetjük:

Ha az \(\displaystyle (1)\) egyenlet megoldását jelentő \(\displaystyle \xi\) pont egy \(\displaystyle \xi-d<x<\xi+d\) \(\displaystyle (d>0)\) környezetében az \(\displaystyle y=f(x)\) függvény görbéje határozottan a \(\displaystyle \xi\)-n átmenő \(\displaystyle +1\) meredekségű \(\displaystyle y=x\) és \(\displaystyle -1\) meredekségű \(\displaystyle y=2\xi-x\) egyenesek között halad a

és

szabály szerint, ahol \(\displaystyle 0<\alpha<1\), akkor a közelítő eljárásunkat a \(\displaystyle \xi-d<x<\xi+d\) tartomány bármely pontjából indítva az az \(\displaystyle x_\infty=\xi\) értékhez fog tartani.

Állításunkat egyszerűen igazolhatjuk. Az \(\displaystyle f(x)\) menetére vonatkozó (3\(\displaystyle a\)) és (3\(\displaystyle b\)) feltételünk szerint

\(\displaystyle \left| f(x)-\xi \right|\leq \alpha\left| x-\xi \right|,\quad \mbox{ha}\quad \left|x-\xi \right|\leq d, \)

amit a sorozat képzésekor lépésről lépésre alkalmazva az

\(\displaystyle \left| x_{n+1}-\xi \right|\leq \alpha\left| x_n-\xi \right| \)

egyenlőtlenség sorozatot kapjuk. Fontos látni, hogy a \(\displaystyle 0<\alpha<1\) feltétel miatt, ha \(\displaystyle \left|x_1-\xi \right|<d\), akkor az \(\displaystyle \left|x_n-\xi \right|< d\) is teljesül minden \(\displaystyle n\)-re, tehát a képzési szabály nem vezet ki a \(\displaystyle \xi-d<x<\xi+d\) intervallumból. Ennek alapján

\(\displaystyle \left| x_{n+1}-\xi \right|\leq \alpha^n\left| x_1-\xi \right|, \)

és mivel \(\displaystyle n\) növelésével \(\displaystyle \alpha^n\) nullához tart, az \(\displaystyle x_n\) értékek valóban egyre pontosabban megközelítik \(\displaystyle \xi\)-t.

Az itt megfogalmazott feltétel az eljárás konvergenciájára nézve egy elégséges, a szükségesnél szigorúbb feltétel. Vannak olyan esetek, amikor ez nem teljesül, a rekurzió mégis konvergens, de olyan nincs, hogy a fentiek teljesülnek, az eljárás viszont mégsem használható. (Lehetséges például olyan eset, hogy az iterációt valahonnan a fenti \(\displaystyle (\xi-d,\xi+d)\) tartományon kívülről indítva is eljutunk a \(\displaystyle \xi\)-hez, de ez általában nem garantálható.) Itt nem célunk a pontos, mindenre kiterjedő feltételek feltérképezése, csak azt akartuk bemutatni, hogy ez a megoldási módszer milyen feltételek között használható biztosan.

A gyakorlatban nem ismerjük \(\displaystyle \xi\)-t, így az \(\displaystyle f(x)\)-et sem tudjuk a \(\displaystyle \xi\) közelében elemezni, de ha szükséges, pl. grafikus ábrázolással képet alkothatunk arról, hogy hol várható a megoldás, és az eljárás konvergensnek ígérkezik-e. Ha igen, a rekurziót addig folytatjuk, amíg az eredmény megkívánt pontosságának megfelelő értékes jegyek már nem változnak az újabb tagok generálásakor. (A sorozat egymást követő elemeinek a felhasználásával ennél szabatosabb hibabecslés is lehetséges, de a gyakorlatban ez a ,,konyhaszabály'' is bőven megfelel.)

Ennél izgalmasabb kérdés, mit tehetünk, ha a sorozatunknak nincs határértéke, a gyök várható környezetében az egymást követő tagok különbsége nem csökken, hanem egyre nő? Ha valóban van az adott környezetben az egyenletnek megoldása, a divergenciát az okozza, hogy ott az \(\displaystyle f(x)\) meredeksége túl nagy (\(\displaystyle |m_f|>1\)). Ebben az esetben az egyenletünket úgy kell átalakítani, hogy a gyök helye ne változzon, de az \(\displaystyle x\)-szel egyenlővé tett függvény meredeksége a megfelelő határok közé kerüljön. Ezt többféleképpen is megtehetjük.

A) Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle F(x)\) az \(\displaystyle f(x)\) inverze, azaz

\(\displaystyle F(f(x))=x. \)

Az \(\displaystyle x=\xi\) helyen (2) miatt

\(\displaystyle F(\xi)=\xi, \)

tehát az

\(\displaystyle x=F(x) \)

egyenlet gyöke(i) ugyanott van(nak), ahol az (1) egyenleté. Ez nem meglepő, hiszen az \(\displaystyle y=f(x)\) és az \(\displaystyle y=F(x)\) görbéi egymás tükörképei az \(\displaystyle y=x\) egyenesre. Ebből az is következik, hogy a két függvény \(\displaystyle m_f\) és \(\displaystyle m_F\) meredeksége a metszéspontban egymás reciproka:

\(\displaystyle m_fm_F=1. \)

Így ha \(\displaystyle |m_f|>1\), akkor \(\displaystyle |m_F|<1\), és az eljárásunk \(\displaystyle f(x)\) helyett \(\displaystyle F(x)\)-et használva konvergálni fog.

B) Az

\(\displaystyle x=g(x) \)

egyenlet gyökei is megegyeznek az (1) egyenlet gyökeivel, ha

\(\displaystyle g(x)=cx+(1-c)f(x)\quad(c\not=1). \)

Ennek a meredeksége a gyök helyén

\(\displaystyle m_g=c+(1-c)m_f, \)

tehát \(\displaystyle c\) alkalmas megválasztásával a meredekség ,,behúzható'' a \(\displaystyle \pm1\) tartomány belsejébe.

Mindkét trükk szemléltethető a P. 5626. feladat megoldásában (lásd lapunk 2025. februári számában) szerepet kapott

\(\displaystyle x=\frac{\ctg x}{2} \)

egyenlettel. Ahogy arról meggyőződhetünk, az

szabállyal képzett sorozat, akárhonnan indítjuk, nem konvergál. Ugyanakkor az inverz függvény használata eredményes: az

rekurzió 10 értékes jegy pontossággal az \(\displaystyle x_\infty=0{,}6532711871\) értékhez tart. Ugyanehhez konvergál az

sorozat is, ami a B) eljárásban \(\displaystyle c=1/2\)-nek felel meg. Megjegyezzük, az

sorozat is konvergens, de fontos látnunk, ez nem a \(\displaystyle (4c)\) rekurzió függvényének az inverzét használja, hanem \(\displaystyle (4b)\) módosítása a B) eljárás szerint \(\displaystyle c=1/2\) választással. A különböző eljárások különböző nagyságú lépésekben közelítik meg az eredményt, különböző sebességgel konvergálnak. Konyhaszabálynak elfogadhatjuk, hogy annál gyorsabb a konvergencia, minél kisebb a jobb oldal meredekségének az abszolút értéke a határérték közelében. A \(\displaystyle (4b)\), \(\displaystyle (4c)\) és \(\displaystyle (4d)\) sorozatokban a meredekségek rendre \(\displaystyle -0{,}74\), \(\displaystyle -0{,}17\) és \(\displaystyle 0{,}13\), ennek megfelelően a \(\displaystyle (4c)\) és \(\displaystyle (4d)\) sorozat számottevően gyorsabban közelíti meg az \(\displaystyle x_\infty\) értéket, mint a \(\displaystyle (4b)\) sorozat.

3. ábra

Végül néhány szót kell szólnunk arról az esetről is, amikor az (1) egyenletnek több gyöke is van. Előfordulhat, hogy az eljárás egyik gyököt sem találja meg, mert az \(\displaystyle m_f\) meredekség abszolút értéke minden gyök esetében nagyobb egynél. Ilyenkor az A) vagy a B) trükk segítségével elérhetjük, hogy az eljárás bármely kiválasztott gyök esetében megfelelő kezdőértékről indítva konvergáljon. Az viszont biztos nem lehetséges, hogy az eljárás minden további manipuláció nélkül minden gyök esetében konvergens legyen: ha mondjuk \(\displaystyle f(x)\) a \(\displaystyle \xi_i\) gyök környezetében teljesíti a \(\displaystyle (3a)\) és \(\displaystyle (3b)\) feltételeket, akkor a szomszédos \(\displaystyle \xi_{i-1}\), illetve \(\displaystyle \xi_{i+1}\) esetében biztos nem fogja, mert ott \(\displaystyle |m_f|\) túl nagy lesz, ahogy azt a 3. ábrán is láthatjuk.