Szerk
G. 896. Öt ellenállást kapcsolunk az ábra szerint egy 24 V-os feszültségforrás \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) kimenetére. Az ellenállások: \(\displaystyle R_1=40~\Omega\), \(\displaystyle R_2=50~\Omega\), \(\displaystyle R_3=R_4=10~\Omega\) és \(\displaystyle R_5=20~\Omega\).
a) Határozzuk meg az áramkör eredő ellenállását a kapcsoló zárt és nyitott állásában!
b) Mennyivel változik meg az \(\displaystyle R_4\) ellenállás teljesítménye, ha a zárt kapcsolót kinyitjuk?
(4 pont)
Közli: Veres Dénes, Szolnok
Megoldás. a) Ha a K kapcsoló nyitva van, akkor az \(\displaystyle R_2\), \(\displaystyle R_3\) és \(\displaystyle R_4\) ellenállások sorba vannak kötve, és az \(\displaystyle R_1\) ellenállás pedig velük párhuzamosan. Így nyitott kapcsoló esetében az eredő ellenállás:
\(\displaystyle R_{\mathrm{ny}}=R_1\times(R_2+R_3+R_4)=\frac{R_1(R_2+R_3+R_4)}{R_1+R_2+R_3+R_4}=\frac{40\cdot 70}{40+70}~\Omega=25{,}5~\Omega. \)
(Itt a \(\displaystyle \times\) jel a ,,replusz'' műveletet jelöli, ami a reciprokok összegének reciprokát írja le röviden.)
Zárt kapcsoló esetén a kapcsolás bonyolultabb, az áttekinthetőség érdekében érdemes átrajzolni (ábra a túloldalon).
A soros és párhuzamos kapcsolások egymásutánja alapján az eredő ellenállás:
\(\displaystyle R_{\mathrm{z}}=R_1\times(R_2+R_5\times(R_3+R_4)). \)
Ez kifejtve nagyon bonyolult képlet, érdemes több lépésben kiszámítani:
Az eredő ellenállás tehát zárt kapcsoló esetén \(\displaystyle R_{\mathrm{z}}=24~\Omega\), nyitott kapcsolónál pedig \(\displaystyle R_{\mathrm{ny}}=25{,}5~\Omega\), tehát a kapcsoló kinyitásakor kis mértékben megnövekszik.
b) Mindkét esetben meghatározzuk az \(\displaystyle R_4\) ellenálláson eső feszültséget, és aztán abból a rajta disszipálódó teljesítményt. Nyitott kapcsoló esetén a sorba kapcsolt \(\displaystyle R_2\), \(\displaystyle R_3\) és \(\displaystyle R_4\) ellenállásokon \(\displaystyle U=24~\mathrm{V}\) feszültség esik, így az \(\displaystyle R_4\) ellenállásra eső feszültség a feszültségosztó képlet alapján:
\(\displaystyle U_{4,\mathrm{ny}}=\frac{R_4}{R_2+R_3+R_4}~U=\frac{10}{50+10+10}\cdot 24~\mathrm{V}=3{,}43~\mathrm{V}. \)
Zárt kapcsoló esetén az \(\displaystyle U=24~\mathrm{V}\) feszültséget először az egymással sorba kapcsolt \(\displaystyle R_5\times(R_3+R_4)=10~\Omega\) és \(\displaystyle R_2=50~\Omega\) között kell elosztani:
\(\displaystyle U_{345,\mathrm{z}}=\frac{R_5\times(R_3+R_4)}{R_2+R_5\times(R_3+R_4)}~U=\frac{10}{50+10}\cdot 24~\mathrm{V}=4~\mathrm{V}, \)
majd ezt kell tovább osztani a sorosan kapcsolt \(\displaystyle R_3\) és \(\displaystyle R_4\) ellenállások között. Ezek egyforma nagyságúak, így a feszültség feleződik:
\(\displaystyle U_{4,\mathrm{z}}=\frac{U_{345,\mathrm{z}}}{2}=2~\mathrm{V}. \)
Az ellenálláson disszipálódó teljesítmény nyitott kapcsolónál:
\(\displaystyle P_{4,\mathrm{ny}}=\frac{U_{4,\mathrm{ny}}^2}{R_4}\approx 1{,}2~\mathrm{W}, \)
zárt kapcsolónál pedig:
\(\displaystyle P_{4,\mathrm{z}}=\frac{U_{4,\mathrm{z}}^2}{R_4}=0{,}40~\mathrm{W}. \)
A teljesítmény tehát közel háromszorosára növekszik a kapcsoló kinyitásakor.
Blaskovics Bálint (Budapest, NKE Óbudai Árpád Gimn., 9. évf.)
49 dolgozat érkezett. Helyes 23 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 4, hiányos (1–2 pont) 17, hibás 5 dolgozat.
P. 5640. A Kanári-szigetek legnagyobb városában, Las Palmasban található egy Európában egyedülálló kiállítás, amely a Föld vizeinek élővilágát mutatja be. A kiállítás egyik attrakciója egy \(\displaystyle 400\) köbméteres, függőleges, henger alakú tengeri akvárium, melynek karbantartását búvárok végzik. Vízszintesen körbenézve az akvárium falának hányad részén lát ki az a búvár, aki az \(\displaystyle R\) sugarú henger szimmetriatengelyétől \(\displaystyle d\) távolságra van? A tengervíz törésmutatója \(\displaystyle n\).
1. Két pozitív szám számtani közepe \(\displaystyle 205\), a számtani és mértani közepük különbsége \(\displaystyle 160\). Melyik ez a két szám?
2. Számítsa ki \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\) értékét, ha \(\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=0\), valamint \(\displaystyle A(x;7)\), \(\displaystyle B(4;-1)\) és \(\displaystyle C(x-11; -4)\).
Azok is figyelmesen olvassák el a Versenykiírást, akik tavaly már részt vettek versenyünkben.
Idén is matematikából, fizikából és informatikából indítunk versenyeket. Egyénileg, illetve csapatban is lehet versenyezni, a versenyek 9 hónapon keresztül, 2025. szeptemberétől 2026. június elejéig tartanak. Minden hónapban új feladatokat tűzünk ki, és a megoldásokat a következő hónap elejéig küldheted be. A verseny végeredményét a 2026. szeptemberi számunkban hirdetjük ki. A díjakat jövő ősszel, a KöMaL Ifjúsági Ankéton adjuk át.
Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
\(\displaystyle \sqrt{x^2-5x-14}\cdot\lvert5-x\rvert\cdot\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\cdot\lg(9-x)=0 \)
Megoldás. Az értelmezési tartomány a logaritmikus kifejezés miatt \(\displaystyle 9-x>0\), így \(\displaystyle x<9\), továbbá a négyzetgyökös kifejezés miatt \(\displaystyle x^2-5x-14\ge 0\), amiből \(\displaystyle x\leq -2\) vagy \(\displaystyle x\geq 7\) ...
1. a) Oldja meg a következő egyenletet az egész számok halmazán:
\(\displaystyle (x^2-9)\left(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}-1\right)=9+x \)
b) Egy négyszög \(\displaystyle \alpha\) szögére teljesül, hogy \(\displaystyle 4\sin^2\alpha-3=0\). Mekkora lehet az \(\displaystyle \alpha\) szög nagysága?
Ha egy négyzetet a két átlójával felosztunk négy háromszögre, majd ezeket kiszínezzük három színnel az összes lehetséges módon, akkor megkapjuk a négyzetes színdominókat.
A színdominókat először a múlt század elején írta le Percy Alexander MacMahon, a kalandos életű matematikus. Ő rögtön megadott több nehéz feladatot is hozzájuk.
A Rátz László vándorgyűlésen rendezett verseny feladatai
1. Az Azariah koncertre jegyet vásárlók sorában Dávid elölről a 2024., hátulról a 2025. várakozó. Hány ember áll a sorban?
(A) 4047; (B) 4048; (C) 4049; (D) 4050; (E) 4051
2. Dia és Viki egy táblán meglát néhány számot. Dia minden számhoz hozzáad 3-at, majd megállapítja, hogy a kapott számok összege 45. Viki az eredetileg a táblán szereplő számokat megszorozza 3-mal, és meglepődve állapítja meg, hogy az általa kapott számok összege is 45. Hány szám volt felírva a táblára a lányok érkezésekor?
(A) 10; (B) 9; (C) 8; (D) 6; (E) 5
A magyar matematika egyik fellegvára – az egyetemek mellett – a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet. Az intézetet 1950-ben alapították a Magyar Tudományos Akadémia Alkalmazott Matematikai Intézete néven. A kommunista ideológia szerint ,,a tudomány közvetlen termelőerővé válik'', ennek megfelelően az intézet feladata a népgazdaság fejlődésének segítése volt a tudomány eszközeivel. Az intézet vezetésével az akkor mindössze 29 éves sztármatematikust, Rényi Alfrédot bízták meg. Rényi bölcsen hagyta, hogy a kötelező feladatok elvégzése mellett az intézetbe toborzott kiváló matematikusok elméleti kérdésekkel is foglalkozzanak, hiszen az alkalmazott és az elméleti matematika összetartozik, együtt művelve a két irányt sokkal eredményesebb lesz a munka. Ezt az Akadémia vezetésével is sikerült elfogadtatnia, ennek megfelelően már 1955-ben a Matematikai Kutató Intézet elnevezés került a cégtáblára. Rényi Alfréd sajnos korán, 49 évesen elhunyt. Az intézet 1999 óta viseli alapító igazgatójának a nevét.
A KöMaL 2025 szeptemberi számában (Tait tétele és a 3-reguláris gráfok – a B. 5403. feladat háttere) kimondtuk Tait alábbi tételét.
Tétel (Tait tétele). Legyen \(\displaystyle G\) egy 3-reguláris, hídélmentes, síkbarajzolt gráf. Ekkor \(\displaystyle G\) tartományai \(\displaystyle 4\)-színezhetők akkor és csak akkor, ha élei \(\displaystyle 3\)-színezhetők.
A tételben \(\displaystyle k\)-színezésen olyan színezést értünk, amely \(\displaystyle k\)-féle színt használ, és az egymással szomszédos tartományok (illetve élszínezés esetén az egy csúcsban találkozó élek) mindig különböző színűek.
A szeptemberi számba nem került be a tétel bizonyítása (azzal a céllal, hogy akinek van kedve, gondolkodhasson rajta), ezt most pótoljuk.
Legutóbb szeptemberi számunkban foglalkoztunk bújócska típusú ördöglakatokkal. Elkészítésre ajánlottunk olvasóinknak egy pálcás változatot, ahol a ,,szokásos'' trükk nem működik, mivel az átbújtatás után (lásd ábra) a pálca nem fér át a hurkon a zsinór rövidsége miatt. Azonban vegyük észre, hogy ebben az átbújtatott állapotban valójában annyi a célunk, hogy a hurok a dupla zsinór másik oldalára kerüljön. Ezt úgy is elérhetjük, ha a téglatest formájú ,,alapot'' bújtatjuk át a hurkon.
