Hujter Bálint
A KöMaL 2025 szeptemberi számában (Tait tétele és a 3-reguláris gráfok – a B. 5403. feladat háttere, 346–350. oldal) kimondtuk Tait alábbi tételét.
Tétel (Tait tétele). Legyen \(\displaystyle G\) egy 3-reguláris, hídélmentes, síkbarajzolt gráf. Ekkor \(\displaystyle G\) tartományai \(\displaystyle 4\)-színezhetők akkor és csak akkor, ha élei \(\displaystyle 3\)-színezhetők.
A tételben \(\displaystyle k\)-színezésen olyan színezést értünk, amely \(\displaystyle k\)-féle színt használ, és az egymással szomszédos tartományok (illetve élszínezés esetén az egy csúcsban találkozó élek) mindig különböző színűek.
A szeptemberi számba nem került be a tétel bizonyítása (azzal a céllal, hogy akinek van kedve, gondolkodhasson rajta), ezt most pótoljuk.
A bizonyítást a könnyebb iránnyal kezdjük. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle G\) tartományait sikerült jól kiszínezni 4 színnel (ezek legyenek: kék, piros, sárga és zöld). Belátjuk – ezt a színezést felhasználva –, hogy ekkor az éleket ki tudjuk jól színezni három színnel (lila, narancs, türkiz).
\(\displaystyle G\) minden éle két különböző színű tartomány között képez határvonalat (hiszen \(\displaystyle G\) hídélmentes). Az élek színeit az alapján határozzuk meg, hogy milyen színű tartományokat választanak el, az alábbi táblázat szerint:
Hogyan született a táblázat? A szabály az, hogy ...
A KöMaL 2022 őszi számaiban Tóthmérész Lilla egy alapos cikksorozatot ([1]) közölt a négyszín-sejtés történetéről, benne kiemelten Alfred Kempe 1879-ben közölt bizonyítási kísérletéről, amelyben Heawood 1890-ben találta csak meg a hibát. A cikkben leírtakat érdemes kiegészíteni azzal, hogy 1880-ban egy másik, rendkívül érdekes bizonyítási kísérlet is történt. Egy Peter Guthrie Tait nevű skót matematikus ugyanis a következő szép állítást bizonyította, mindössze 1 évvel Kempe kísérlete után ...
G. 896. Öt ellenállást kapcsolunk az ábra szerint egy 24 V-os feszültségforrás \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) kimenetére. Az ellenállások: \(\displaystyle R_1=40~\Omega\), \(\displaystyle R_2=50~\Omega\), \(\displaystyle R_3=R_4=10~\Omega\) és \(\displaystyle R_5=20~\Omega\).
a) Határozzuk meg az áramkör eredő ellenállását a kapcsoló zárt és nyitott állásában!
b) Mennyivel változik meg az \(\displaystyle R_4\) ellenállás teljesítménye, ha a zárt kapcsolót kinyitjuk?
(4 pont)
Közli: Veres Dénes, Szolnok
A KöMaL pontversenyeihez és Ifjúsági Ankétjához a MATFUND Alapítvány részére a Nemzeti Tehetség Program a 2024. július 1. és 2025. augusztus 31. közötti időszakra tizenhétmillió forint támogatást biztosított (NTP-TMV-M-24-M-0003).
A Nemzeti Kulturális Alap a KöMaL kiadását 1 900 000 forinttal (NKA-LAP), a 2023. október 29-30-án megrendezett KöMaL Ankét megszervezését 2 000 000 forinttal (NKA (201108/03268),továbbá a 2024. július első hetében megszervezett KöMaL nyári matematika és fizika tehetséggondozó tábor megrendezését 2 000 000 forinttal (201108/03268) támogatta. A nyári tábor idén sem jöhetett volna létre az AIT támogatása nélkül. Köszönjük továbbá a dombóvári Hotel Európának, hogy sokadik éve biztosít helyszínt táborunknak.
Azok is figyelmesen olvassák el a Versenykiírást, akik tavaly már részt vettek versenyünkben.
Idén is matematikából, fizikából és informatikából indítunk versenyeket. Egyénileg, illetve csapatban is lehet versenyezni, a versenyek 9 hónapon keresztül, 2025. szeptemberétől 2026. június elejéig tartanak. Minden hónapban új feladatokat tűzünk ki, és a megoldásokat a következő hónap elejéig küldheted be. A verseny végeredményét a 2026. szeptemberi számunkban hirdetjük ki. A díjakat jövő ősszel, a KöMaL Ifjúsági Ankéton adjuk át.
Kevés az olyan egyenlettípus, amely zárt alakban megoldható, a legtöbb esetben valamilyen numerikus megoldáshoz kell folyamodnunk. Mindig lehetőségünk van a próbálgatásra, amit ügyesen végrehajtva megbízható eredményre juthatunk, de bizonyos esetekben a megoldás megkeresésére szisztematikus, könnyen automatizálható eljárás is a rendelkezésünkre áll. Az alábbiakban egy ilyet mutatunk be. Ez az
típusú egyenletek esetében alkalmazható, és az \(\displaystyle f(x)\) függvények egy széles osztályában eredményes. A módszer lényege, hogy az
\(\displaystyle x_{n+1}=f(x_n) \)
képzési szabály segítségével egy sorozatot generálunk.
Az Eötvös Loránd Fizikai Társulat 2025. évi Eötvös-versenye október 17-én délután 3 órai kezdettel tíz magyarországi helyszínen került megrendezésre. Az ünnepélyes eredményhirdetésre és díjkiosztásra 2025. november 28-án délután került sor az ELTE TTK Eötvös termében. Megemlékeztünk az 50 és 25 évvel ezelőtti Eötvös-versenyről, ismertettük az akkori feladatokat és a győztesek nevét. Az 50 évvel ezelőtti díjazottak közül Virosztek Attila, a 25 évvel ezelőttiek közül Pozsgay Balázs volt jelen – ők röviden beszéltek a versennyel kapcsolatos emlékeikről és a pályafutásukról. Az 50 évvel ezelőtti II. díjas Zimányi Gergely videóüdvözletet, a 25 évvel ezelőtti I. díjas Buruzs Ádám pedig szöveges üzenetet küldött a jelenlévőknek.
25. alkalommal adták át a Rátz Tanár úr életműdíjakat összesen nyolc kiváló tanár részére:
Kántor Sándorné, Dr. Pintér Klára, Ábrám László, Horváth Norbert, Karasz Gyöngyi, Nagy István, Bódis Bertalan, Mándics Dezső.
A kitüntetettek részletes bemutatása és az évente megújuló felhívás megtalálható a Rátz Tanár Úr Életműdíj hivatalos honlapján: https://www.ratztanarurdij.hu/
Idén Miskolc vendégül a matematikatanárok csapatát a Rátz László Vándorgyűlés keretei között. Négy szekcióban zajlottak a szemináriumok és az előadások, ezen kívül átadták a Bolyai János Matematikai Társulat Beke Manó Emlékdíjait és a Reményi díjakat az országos matematikaversenyeken kiváló eredményt elért tanulók tanárainak.
M. 443. Mobiltelefon fényérzékelőjét használva mutassuk meg, hogy a fényintenzitás inverz négyzetesen függ egy pontszerű fényforrástól mért távolságtól! Hogyan válasszuk a kísérleti körülményeket ahhoz, hogy minél pontosabban tudjuk igazolni ezt az összefüggést?
Közli: Vadász Gergely, Solymár
