Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2676] Gyöngyő2008-05-31 17:14:24
[2675] Gyöngyő2008-05-31 17:13:56

Sziasztok!

Szórakozgattam egy kicsit,ezzel a fájlal! Megpróbálom feltölteni!

[2674] Lóczi Lajos2008-05-31 16:16:21

A megoldás szép, de sajnos még nem teljes. A logaritmus Taylor-sorának konvergenciasugara 1, ln (1+z) tehát egyenlő a sorfejtésével, ha |z|<1. Most nyilván |ei|=1. Honnan tudod, hogy |z|=1 esetén is szabad a sorfejtést használni? (Az általános esetben konvergencia és divergencia is előfordulhat a határkörvonalon...)

Előzmény: [2673] leni536, 2008-05-31 13:22:22
[2673] leni5362008-05-31 13:22:22

Vegyük az alábbi összeget:

\sum_{k=1}^\infty\frac{e^{ik}}{k}

Ennek a valós része a keresett összeget adja.

Ez az összeg az -\ln(1-z)\frac{}{} függvény Taylor-sora, ahol z=e^i\frac{}{}, tehát:

\sum_{k=1}^\infty\frac{e^{ik}}{k}=-\ln(1-e^i)

Komplex szám logaritmusának valós részét úgy kapjuk, hogy vesszük az abszolútértékének a logaritmusát.

Ábrázoljuk koordinátarendszerben! (ábra)

r=2\sin\frac12

Így a keresett összeg:

\sum_{k=1}^\infty\frac{\cos(k)}{k}=-\ln\left(2\sin\frac12\right)

Előzmény: [2667] Lóczi Lajos, 2008-05-30 00:48:34
[2672] Lóczi Lajos2008-05-31 00:06:24

Nem, nekem sikerült PDF-et is belinkelni. (Küldtem Gyöngyő levelet!)

Előzmény: [2671] jonas, 2008-05-30 23:53:22
[2671] jonas2008-05-30 23:53:22

Nem az a gond, hogy csak png, jpeg, gif, és windows bitmap formátumú képeket enged föl?

Előzmény: [2670] Gyöngyő, 2008-05-30 22:41:42
[2670] Gyöngyő2008-05-30 22:41:42

Probáltam feltölteni,de csak az egyik oldalt engedi feltölteni! Túl nagy gondolom.

[2669] Lóczi Lajos2008-05-30 21:05:10

Nem akarod a PDF-et feltölteni ide a fórumra a hozzászólásodhoz?

Előzmény: [2668] Gyöngyő, 2008-05-30 19:56:22
[2668] Gyöngyő2008-05-30 19:56:22

Sziasztok!

Megvan a sorösszeg de nem tudom begépelni,de megcsináltam pdf-be.Kinek tudnám elküldeni?

Üdv.:

Zsolt

[2667] Lóczi Lajos2008-05-30 00:48:34

Számítsuk ki a \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos(k)}{k} összeget.

[2666] Lóczi Lajos2008-05-29 23:21:47

Számítsuk ki az \int_0^\infty \frac{\cos(x^2)}{\ln(x)} dx integrált.

[2665] médzsör2008-05-29 19:49:20

egy utolsó feladat ,hátha valaki kedvet kap..:): matek2 vizsgán volt példa(lineális algebra) számitsuk ki az integrál értékét azon a 3szögön, melynek csúcspontjai: p(1,-1) p(2,4) és p(2,-4) ez is 2ös integrál az integrál (3x-4y-1)dxdy ha ezt valaki megtudná csinálni jó lenne ,ugyanis hétfön ilyesmi példa is lessz...

[2664] Sirpi2008-05-29 18:33:26

Megoldani nem fogom, csak hátha így más kedvet kap:

\int_0^2 \int_0^{2-y} (2x-y)^2 dx dy

Bár ez mindkét változóban polinom, szóvan nem kellene, hogy az integrálás gondot okozzon.

Előzmény: [2663] médzsör, 2008-05-29 16:23:09
[2663] médzsör2008-05-29 16:23:09

sziasztok nekem a következö lenne a kérdésem 2ös integrállal kapcsolatba: csak leirni tudom

integrál 0-2ig integrál 0tol 2-y-ig (2x-y) a négyzeten dxdy valaki ezt megtudná oldani?

[2662] leni5362008-05-28 18:27:01

Ha az oldalközéppontokban helyezkednek el a farkasok, akkor a határ a sebességek arányára mindig 1, ha a csúcsokban vannak, akkor kissé húzósabb.

Szabályos háromszögnél \sqrt3 alatt van a nyúlnak stratégiája, viszont a farkasok stratégiáját még nem látom \sqrt3 fölött.

Előzmény: [2661] Enkidu, 2008-05-27 12:41:39
[2661] Enkidu2008-05-27 12:41:39

Sziasztok!

Ha van még kedve valakinek a feladattal foglalkozni, mi a helyzet, ha a farkasok egy szabályos n-szög csúcsaiban helyezkednek el (mondjuk n=3, esetleg 6 esetén)? Illetve mi a helyzet, ha egy kör mentén, a szomszéd farkasoktól azonos távolságra? Ez utóbbi nem tűnik túl könnyűnek, bár lehet, hogy a szabályos n-szögből kijön.

Ja és én sem foglalkoztam még vele, csak most úgy eszembe jutott ez a két kérdés.

Sziasztok!

Előzmény: [2660] leni536, 2008-05-26 22:41:11
[2660] leni5362008-05-26 22:41:11

Az első esetre, tehát amikor a farkasok kezdetben a sarkokban állnak:

Ha a farkasok és a nyuszi sebességének aránya nagyobb vagy egydenlő \sqrt2-vel, akkor állítsuk sarkára a négyzetet, ebben az esetben nyilvánvalóan látszik, hogy a szemközti farkasok be tudják lőni minden pillanatban a nyuszi koordinátáit.

Ha a farkasok és a nyuszi sebességének aránya kisebb \sqrt2-nél, akkor ezt az arányt nevezzük el \lambda-nak.

A nyuszi elindul egyenesen az egyik sarok felé és meg tesz \lambda\cdot\frac{a}2-nél valamivel hosszabb utat, ahol a a négyzet oldalának hossza. Ekkor megfigyeli, hogy a sarokban lévő farkas elmozdult-e. Ha jobbra mozdul el, akkor a nyuszi merőleges fordulatot vesz balra és kiszalad a kerítésen, ha balra, akkor pont fordítva, ha a helyén marad, akkor mindegy merre.

Az oldalfelezőpontos esetben is hasonlóak a stratégiák.

[2659] Sirpi2008-05-26 20:26:31

Pedig így van. Ha a sarkokban vannak, akkor kicsit kevesebb, mint \sqrt 2-ször gyorsabb farkasokkal is el tud bánni a nyuszi (középről), míg az oldalfelezőpontokból induló farkasok esetén 1-\varepsilon esetén van nyerő stratégiája. Utóbbi esetben könnyű látni, hogy a nyuszival azonos sebességű farkasok esetén nem tud kijutni: a farkasok mindig a nyuszi oldalakra vett merőleges vetületébe mozdulnak (már kezdetben is ott vannak). A feladat többi részét egyelőre nem lőném le.

Előzmény: [2658] jonas, 2008-05-26 14:32:49
[2658] jonas2008-05-26 14:32:49

Hogy lehetne a határ különböző csak attól, hogy a farkasok kezdetben máshol helyezkednek el?

Előzmény: [2657] leni536, 2008-05-26 12:14:58
[2657] leni5362008-05-26 12:14:58

Ebben az utóbbiban a határ 1 lesz. 1 alatt van stratégiám a nyúl számára. Ha pont 1, akkor a farkasok nyernek.

Az eredeti feladatban nálam is \sqrt2, de én sem lőném le a poént, leginkább mert lusta vagyok begépelni, meg mert alapvetően fizikus vagyok és úgysem tudom úgy leírni, hogy egy matekos ne tudjon belekötni. :P

Előzmény: [2656] Enkidu, 2008-05-26 11:58:20
[2656] Enkidu2008-05-26 11:58:20

Hello!

Megvan a megoldás, feltéve, ha az állatok pontszerűnek tekinthetők (a határ - a sebességek arányára, ha jól sejtem  \sqrt2 ); nem lőném le még a "poént", bár a zárójeles rész beszédes lehet.

Nekem az jutott eszembe a feladat kapcsán, hogy mi a helyzet, ha a farkasok a négyzet oldalfelező pontjaiban vannak, a nyuszi pedig a négyzet közepén? Első blikkre ez utóbbit nem tudom megválaszolni.

Ui.: Volt Szegeden az egyetemen egy tanárom dr. Pintér Lajos, aki mindig bátorított minket arra, hogy a legegyszerűbb példákat is általánosítsuk, egy kicsit változtassuk meg, kóstolgassuk... ergo kísérletezgessünk vele. Ő (pedig marha nagy koponya) soha nem bánta, ha egy-egy példa "gagyi", egyfelől mindig van, akinek nem az, másfelől tovább gondolva szép példák, általánosítások kerekedhetnek ki belőle. Bocs, ha szószátyár voltam, sziasztok!

Előzmény: [2654] Cckek, 2008-05-25 08:51:21
[2655] jonas2008-05-25 12:57:54

Jaj, ne! Még egy Tom és Jerry-s feladat, csak most négy Tommal.

Előzmény: [2654] Cckek, 2008-05-25 08:51:21
[2654] Cckek2008-05-25 08:51:21

Egy érdekes feladat, ami szépen általánosítható és több kérdést is von maga után:

Egy négyzet alakú kert közepén ül egy nyuszi, a kert négy sarkában egy-egy farkas. A farkasok 1,4-szer gyorsabban futnak a nyúlnál, de csak a kert határa mentén mozoghatnak. Kijuthat-e a nyúl a kertből? Mennyi a nyúl és farkas sebességének a minimális aránya, mikor kijuthat?

Előre is elnézést ha a feladat túl egyszerű vagy gagyi:D

[2653] Lajosz2008-05-19 16:15:27

Köszönöm Sirpi!

A lenti számháromszög két utolsó sora a 12 és 13 esetét írja le, azok már nem fértek el egy sorba...

Értelemszerűen az előző sorok számainak összegei (felfelé haladva) 3 - nak 11, 10, 9,...1, 0 hatványai.

Ez emlékeztet a permutációk fixpontjaira! Az ismétléses variáció fixpontjaira van valahol irodalom?

A bal oldali oszlop:1 2 4 8 16...mint a permutációknál: a nulla fixpontok darabszámát jelentené. majd jobbra haladva az egy, kettő, stb fixpontok darabszámát!

Egyáltalán van ilyen fogalom? Ha van milyen néven keressem?

Mert ez, ha általánosítjuk, "m" alapú hatvánnyal leírható minden ismétléses variációra igaz!

m=3

1

2, 1

4, 4, 1

8, 12, 6, 1

16, 32, 24, 8, 1

32, 80, 80, 40, 10, 1

64, 192, 240, 160, 60, 12, 1

128, 448, 672, 560, 280, 84, 14, 1

512, 2304, 4608, 5376, 4032, 2016, 672, 144, 18, 1

1024, 5120, 11520, 15360, 13440, 8064, 3360, 960, 180, 20, 1

2048, 11264, 28160, 42240, 42240, 29568, 14784, 5280, 1320, 220, 22,1

4096, 24576, 67584, 112640, 126720, 101376, 59136, 25344, 7920, 1760, 264, 24, 1

8192, 53248, 159744, 292864, 366080, 329472, 219648, 109824, 41184, 11440, 2288, 312, 26, 1

lásuk m=4 esetén!

1

3, 1

9, 6, 1

27, 27, 9, 1

81, 108, 54, 12, 1

243, 405, 270, 90, 15, 1

729, 1458, 1215, 540, 135, 18, 1

2187, 5103, 5103, 2835, 945, 189, 21, 1

Maple kóddal:

** :a hatvány jele.

for i from 0 to 13 do seq(binomial(i, j)*3**(i-j), j = 0 .. i) od;#

3**(i-j) > itt a 3 egyenlő m=4 minusz egy, etc...

Előzmény: [2652] Sirpi, 2008-05-19 10:47:20
[2652] Sirpi2008-05-19 10:47:20

A rendes 13-as totón a pontosan k találat darabszáma:

\binom {13}k \cdot 2^{13-k}

Hiszen kiválasztjuk azt a k meccset, amit eltalálunk, azok kitöltése egyértelmű, a többinél pedig mindenhol 2 lehetőségünk van, hogy oda rosszat írjunk. Ha fix meccsek is vannak, akkor a képletben mindkét 13-ast cseréld ki tetszőleges kisebb számra (mondjuk az nem teljesen világos, hogy a fix találatokat miért nem számolod a találatok közé, mert azt írod, hogy 12-ből maximum 12 találatod lehet, de mivel így szeretnéd értelmezni, ennek megfelelően adtam meg a képletet).

Előzmény: [2651] Lajosz, 2008-05-19 10:40:06

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]