Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[4027] merse2017-12-28 17:24:06

Kedves fórumozók!

A KöMaL-ban van matek, fizika, mérési és informatika pontverseny is, de vannak olyan példák, amik egyik kategóriába sem passzolnak. Olyan kreativitást igénylő fejtörők, amikhez nem a tananyag ismerete a fontos, diákok és felnőttek számára egyaránt élvezetesek tudnak lenni. Jómagam annak idején lelkes KöMaL versenyző voltam több pontversenyben is, jelenleg pedig rendszeres példa kitűző vagyok, de úgy éreztem, hogy szükség lenne egy új pontversenyre, ami szerintem hiánypotló. Ez az új pontverseny szándékom szerint egy űrt töltene be, ami a KöMaL és a sablonos tömegrejtvények műfaja közé esne. Kísérleti jelleggel egy éven keresztül a blogomon futott egy ilyen pontverseny, lásd a Fejtörő feladatok címkét a duplapluszjo.blogspot.hu oldalon. Erre felfigyelt egy újonnan induló ismeretterjesztő napi híportál, a Qubit, ahol november óta nagy sikerrel és nagy látogatottsággal fut az Ész Ventura rovat. Jelenleg az év utolsó fejtörőjét még be lehet küldeni péntekig. Jövőre pedig indul a 2018-as pontverseny, amit szeretnék mindenki figyelmébe ajánlani, aki szereti a fejtörőket. Ha kíváncsi valaki, hogy milyen jellegű példákról beszélek, akkor nézze meg a blogomat vagy keressen rá a Ventura szóra a Qubit keresőjében. Előre is hálás köszönet, és ha tetszik, akkor terjesszétek!

[4026] jonas2017-09-04 00:26:12

15261198345933964248972668816735. feladat

Igazak-e a következők minden \(\displaystyle 2\le n \) egész számra?

(a) \(\displaystyle n \) akkor és csak akkor prím, ha minden \(\displaystyle 1\le k<n \) egészre

\(\displaystyle \binom{n}{k} \equiv 0 \pmod n \)

(b) \(\displaystyle n \) akkor és csak akkor prím, ha minden \(\displaystyle 1\le k<n-1 \) egészre

\(\displaystyle \binom{n-1}{k} \equiv (-1)^k \pmod n \)

[4025] Róbert Gida2017-07-26 21:47:41

Menjünk el egy olyan fához aminek ránézésre sokszáz levele van (nyilván egy 4-5 levelű fának bárki megszámolja a leveleit).

Kérdezzük meg, hogy hány levele van, majd játszunk 10 fordulót: minden egyes fordulóban bekötjük az (ál)fejszámoló szemét, és \(\displaystyle \frac 12\) valószínűséggel letépünk egy levelet a fáról (szabályos érme feldobásával is eldönthetjük ezt), majd levesszük a kötést a szeméről és megkérdezzük a levelek számát. Így a fának még mindig sok levele marad, és a döntésünktől függetlenül minden fordulóban, ha álfejszámoló, akkor \(\displaystyle \frac 12\) esélye van eltalálni a levelek számát (feltéve, hogy tudja, hogy ezt a játékot játsszuk vele). Így, ha nem igazi fejszámoló, akkor \(\displaystyle \frac{1}{1024}<0.001\) esélye van, hogy átmenjen ezen a teszten, azaz roppant nagy valószínűséggel lebukik, ha álfejszámoló.

ps. Figyeljük meg, hogy mi sem tudjuk, hogy az egyes fordulók végén hány levél van a fán, de ha az első kérdésre \(\displaystyle l\) volt a válasza, akkor \(\displaystyle 1\) levél letépése után, ha nem \(\displaystyle (l-1)\)-et válaszol, akkor vagy most tévedett, vagy a legelső kérdésnél és ekkor nem \(\displaystyle l\) levél volt a fán. Hasonló érveléssel például az is eldönthető, hogy valaki a levélszám paritását meg tudná mondani: egy levél letépésénél a paritás változik, egyébként megmarad. Továbbá nyilván úgy is eldönthető lenne, hogy igazat mond-e, hogy \(\displaystyle l\) levelet letépünk, de \(\displaystyle l<1024\)-nél az én tesztem pontosabb, és gyorsabb, környezetbarátabb.

Előzmény: [4024] Loiscenter, 2017-07-26 07:01:51
[4024] Loiscenter2017-07-26 07:01:51

Nagyon szeretnem tudni a megoldas:

Egy ember azt állítja, hogy ránézésre meg tudja állapítani egy fáról, hogy hány levele van.

Hogyan tudnánk meggyőződni arról, hogy igazat beszél-e?

Forras: Algebra 7-8 evfolyam (Fazekas math. )

[4023] Szundi72017-06-04 15:52:51

Ezt olvasva, a Kömal-szerkesztőket kérdezem:

Hány hónapos nem közlés után vehető tutira, hogy egy kitűzésre javasolt feladatot tényleg, végleg ejtettek? (Mondjuk A. v. B./6 pontos lenne a példa.)

Egy ilyen, Kömal-szerkesztőségi parkolópályán veszteglő feladatot a javaslattevő később esetleg továbbíthatna más folyóirathoz, "más versenyre, vagy valamilyen gyakorlaton házi- vagy vizsgafeladatként", ahogyan azt "jonas" bölcsen írta.

Azaz: mennyi az elévülési idő, kedves Kömal-szerkesztők?

Előzmény: [3503] jonas, 2011-10-10 21:25:11
[4022] juantheron2016-08-19 16:51:39

also thanks Fálesz Mihály

[4021] juantheron2016-08-19 16:49:47

If &tex;\displaystyle \ln(2\pi)<\log_{2}(2+\sqrt{3})<\ln(3\pi)&xet; Then number of real roots of &tex;\displaystyle 4\cos(e^x) = 2^x+2^{-x}&xet;

[4020] juantheron2016-08-19 16:48:10

Thanks Ibiro and yield.

[4019] nadorp2016-08-14 01:20:35

Igen, én is valami ilyet csináltam a &tex;\displaystyle \cos x - 3\sin x=\frac{\cos^2 x-9\sin^2 x}{\cos x+3\sin x}&xet; azonosságot felhasználva és a nevezőben levő függvényt vizsgálva a számláló előjelétől függően

Előzmény: [4017] Fálesz Mihály, 2016-08-13 18:50:32
[4018] jonas2016-08-13 23:54:34

A 2188333­59489485­09613500­03957441­83356730. feladat odaát a Játékelmélet téma alatt folytatódik.

Előzmény: [4012] jonas, 2016-08-02 11:47:36
[4017] Fálesz Mihály2016-08-13 18:50:32

Alternatív módszer: keressünk olyan &tex;\displaystyle C&xet; számot, amire

&tex;\displaystyle \cos x \ge 3\sin x + C(1-10\sin^2x) &xet;

teljesül minden &tex;\displaystyle 0\le x\le\frac\pi2&xet; esetén.

Előzmény: [4016] nadorp, 2016-08-12 17:34:15
[4016] nadorp2016-08-12 17:34:15

Ez nagyon elegáns!

Előzmény: [4015] yield, 2016-08-12 15:48:35
[4015] yield2016-08-12 15:48:35

Szerintem az "ibiro" arra gondolt, hogy:

&tex;\displaystyle \cos x_{i} = \sqrt{1-sin^2 x_{i}} = \sqrt{\sum_{k<>i}^{n} sin^2 x_{k}} >= \frac{\sum_{k<>i}^{n} \sin x_{k}}{\sqrt{n-1}}&xet;

Így a minimalizálandó mennyiség:

&tex;\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^{n} \cos x_{i}}{\sum_{i=1}^{n} \sin x_{i}} >= \frac{\frac {1}{\sqrt{n-1}} \sum_{i=1}^{n} \sum_{k<>i}^{n} \sin x_{k}}{\sum_{i=1}^{n} \sin x_{i}} = \frac {n-1}{\sqrt{n-1}} = \sqrt{n-1}&xet;

n = 10 esetén a minimum érték = 3

Előzmény: [4014] nadorp, 2016-08-08 21:02:04
[4014] nadorp2016-08-08 21:02:04

Azért ehhez a feladathoz szerintem több ötlet kell, mint egy mezei számtani és négyzetes közép közti összefüggés:-)

Érdekelne a megoldásod.

Előzmény: [4013] ibiro, 2016-08-06 18:25:55
[4013] ibiro2016-08-06 18:25:55

... is 3 (for &tex;\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{10}=arcsin(\frac{1}{\sqrt{10}}))&xet; and you can proof this by using the inequality between quadratic and aritmethic mean.

Előzmény: [4011] juantheron, 2016-07-23 16:36:00
[4012] jonas2016-08-02 11:47:36

Mondok egy feladatot, amit nemrég hallottam.

2188333­59489485­09613500­03957441­83356730. feladat. A következő játékot játszod. Kapsz tíz kártyát sorban megszámozva négyestől királyig inklúzíve. Az osztónál van tíz ugyanilyen kártya. Az osztó megkeveri a saját kártyáit véletlenszerű sorrendbe, fejjel lefelé.

Minden körben kiválasztassz egy kártyát a még nálad lévő kártyák közül, és eldobod, majd az osztó eldobja a felső kártyát a saját paklijából. Ha te dobtál magasabb értékű kártyát ebben a körben, akkor te viszed az ütést, ha az osztó, akkor ő viszi. Az is előfordul, hogy egyforma értékű kártyát dobtok, ekkor senki nem viszi el az ütést. Minden körben ismered az összes előző körökben lerakott kártyákat, de azt nem tudod, hogy az osztó mit fog rakni.

Tíz kör után így elfogynak a kártyák, ekkor kiértékelitek a játékot. Ha te vittél több ütést, akkor te nyersz az osztótól tíz fillért, ha az osztó vitt több ütést, akkor ő nyer tőled tíz fillért, ha pedig ugyanannyi ütést vittetek, akkor senki nem fizet semmit.

Van-e olyan stratégia, amivel várhatóan pozitív a nyereményed?

[4011] juantheron2016-07-23 16:36:00

If &tex;\displaystyle x_{i}\in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]\forall i = 1,2,3,...,10&xet; and &tex;\displaystyle \sin^2 x_{1}+\sin^2 x_{2}+...+\sin^2 x_{10} = 1&xet;. Then Minimum value of &tex;\displaystyle \frac{\cos x_{1}+\cos x_{2}+...+\cos x_{10}}{\sin x_{1}+\sin x_{2}+....+\sin x_{10}}&xet;

[4010] Lóczi Lajos2016-07-12 19:24:11

Az integrál amúgy egy Green-tétel alkalmazásaként jött létre (a rotációt tartalmazó területi integrál kiszámítása könnyű, az aktuális példa a tétel "másik" oldala, a görbementi integrál egy paraméterezése).

Előzmény: [4008] Róbert Gida, 2016-07-12 18:43:06
[4009] Róbert Gida2016-07-12 18:55:36

Javítás: &tex;\displaystyle 6/5*Pi&xet;-t ír az inverz szimbolikus kalkulátor, ez éppen a tizede a keresett értéknek, ami jó, mert a keresésben a tizedesvessző helyét nem nézi.

Előzmény: [4008] Róbert Gida, 2016-07-12 18:43:06
[4008] Róbert Gida2016-07-12 18:43:06

Ez azért érdekes volt, 9-es verziójú Mathematica 510 másodperc után visszaadta az eredeti problémát, azaz nem tudta kiszámolni, persze numerikusan ki tudja integrálni és innen már könnyű volt (bár az inverz szimbólikus oldal &tex;\displaystyle 6.5*\pi&xet;-t adott rá).

Az első és harmadik tag összegének integrálja &tex;\displaystyle 12\pi&xet;, ez triviális. A második tag integrálja pedig nulla(!), mert a &tex;\displaystyle [0,\pi]&xet; intervallumon az &tex;\displaystyle x=\frac{\pi}{2}&xet; tengelyre nézve páratlan a függvény, így integrálja nulla (és az integrál létezik!), míg a &tex;\displaystyle [\pi,2\pi]&xet; intervallumon az &tex;\displaystyle x=\frac {3\pi}{2}&xet;-re tengelyre nézve ptlan a fv., így integrálja megint nulla. A negyedik tag integrálja is nulla, ez az &tex;\displaystyle x=\pi&xet; tengelyre nézve ptlan fv.

Ptlan fv-eket meglehetősen nehezen ismer fel a Mathematica. Egyébként az első három tag összegét (gyorsan) tudja integrálni.

Előzmény: [4006] Lóczi Lajos, 2016-07-12 15:25:19
[4007] Róbert Gida2016-07-12 17:30:05

&tex;\displaystyle 12\pi&xet; az integrál értéke.

Előzmény: [4006] Lóczi Lajos, 2016-07-12 15:25:19
[4006] Lóczi Lajos2016-07-12 15:25:19

Meg lehet-e határozni az alábbi integrál "pontos" értékét?

&tex;\displaystyle \int_0^{2 \pi } 21 \cos ^2(t)+\cos (t)\sqrt{81 \sin ^4(t)+1} -9 \sin ^2(t)+\sin (t) e^{\sin (3 \cos (t))} dt&xet;

[4005] Sirpi2016-07-06 22:40:50

Köszi! Valóban ott volt a 12. feladat.

Előzmény: [4004] Róbert Gida, 2016-07-06 21:54:04
[4004] Róbert Gida2016-07-06 21:54:04

Kömal A/N feladat lehetett ez, úgy emlékszem &tex;\displaystyle n=2^k&xet; esetén nem lehetséges az eredeti számokat meghatározni. De az biztos, hogy Lovász Kombinatorikai problémák és feladatok könyvében ez a feladat benne van. (Rekonstrukciós problémáknál lehet).

Előzmény: [4003] Sirpi, 2016-07-06 20:15:57
[4003] Sirpi2016-07-06 20:15:57

András gondol &tex;\displaystyle n&xet; darab számra, majd megadja Bélának az ezekből a számokból alkotott párok összegét, &tex;\displaystyle \binom{n}2&xet; darabot (csak magukat a számokat, eltitkolva, hogy mely két eredeti szám összegeként állnak elő).

Minden &tex;\displaystyle n&xet; esetén végig lehet gondolni, hogy a megadott összegekből minden esetben rekonstruálhatóak-e az eredeti számok.

Ha &tex;\displaystyle n < 3&xet;, akkor nyilván nem. &tex;\displaystyle n=3&xet; könnyen rekonstruálható, pl. ha A, B és C a három összeg, akkor ebből &tex;\displaystyle (A+B-C)/2&xet;, &tex;\displaystyle (A-B+C)/2&xet; és &tex;\displaystyle (-A+B+C)/2&xet; az eredeti 3 szám.

Jelenleg &tex;\displaystyle n=6&xet;-ig néztem végig az eseteket, ebből a 6 volt a legizgalmasabb. Szóval &tex;\displaystyle n=4, 5, 6&xet;-ra kérdés, hogy mindig egyértelmű-e a visszafejtés, valamint az is, hogy &tex;\displaystyle n>6&xet; esetén tudunk-e valamit mondani (erre még nem tudom a választ, csak sejtem).

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]