KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2005. májusi matematika feladatai

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. június 15-én LEJÁRT.

A. 374. Az x1\gex2\ge...\gexn>0 és y1\gey2\ge...\geyn>0 számokra tetszőleges 0<k\len esetén

\prod_{i=1}^kx_i\ge\prod_{i=1}^ky_i.

Bizonyítsuk be, hogy

\sum_{i=1}^nx_i\ge\sum_{i=1}^ny_i.

(5 pont)

Statisztika

A. 375. Adjuk meg az összes olyan f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} folytonos függvényt, amelyre minden x,y\in\mathbb{R} esetén

f (x+y+f(xy))=xy+f(x+y).

(5 pont)

Statisztika

A. 376. Az (a;b;c) számhármassal egy lépésben a következőt lehet tenni: tetszőlegesen felcserélhetjük a számokat, vagy lecserélhetjük az (a;b;2a+2b-c) számhármasra. El lehet-e jutni ilyen lépésekkel az (1;21;42) számhármasból az (5;13;42) számhármasba?

(5 pont)

Statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. június 15-én LEJÁRT.

B. 3822. Az (a;b;c) számhármassal egy lépésben a következőt lehet tenni: tetszőlegesen felcserélhetjük a számokat, vagy lecserélhetjük az (a;b;2a+2b-c) számhármasra. El lehet-e jutni ilyen lépésekkel a (2;5;13) számhármasból az (1;3;8) számhármasba?

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3823. Legyenek x és y olyan egész számok, melyekre teljesül, hogy 4x+5y =7. Határozzuk meg 5|x|-3|y| legkisebb értékét.

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3824. Egy tetraéder minden csúcsát tükrözzük a szemközti lap súlypontjára. Mutassuk meg, hogy a tükörképek által meghatározott tetraéder térfogata legalább négyszerese az eredeti tetraéder térfogatának.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3825. Az n olyan pozitív egész, amelyre 2n+1 is és 3n+1 is négyzetszám. Bizonyítsuk be, hogy n osztható 40-nel.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3826. Milyen négyszög az alaplapja annak a csonkagúlának, amelynek bármelyik két testátlója metszi egymást?

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3827. Az AD szakasz érinti az ABC háromszög körülírt körét, az AC szakasz pedig az ABD háromszög körülírt körét. Mutassuk meg, hogy

AC2.BD=AD2.BC.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3828. Igaz-e, hogy ha egy négyszög oldalainak szorzata megegyezik a területének négyzetével, akkor a négyszögnek van legalább két derékszöge?

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3829. Legyenek a1, a2, ..., an pozitív számok. Igazoljuk, hogy


\frac{a_1^2}{a_1+a_2}+\frac{a_2^2}{a_2+a_3}+\ldots+\frac{a_{n-1}^2}{a_{n-1}+a_n}+
\frac{a_n^2}{a_n+a_1}\ge\frac{1}{2}(a_1+a_2+\ldots+a_n).

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3830. Tekintsük az ABC háromszög AB oldalára befelé rajzolt ABDE négyzet és a BC oldalára befelé rajzolt BCGH négyzet középpontját, továbbá az AC és a DH szakaszok felezőpontját. Milyen idomot határoz meg az így kapott négy pont?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3831. A ,,kockás'' papíron adott egy 2005 egység oldalhosszúságú négyzet, amelynek oldalai rácsegyenesek. Rajzoljunk a négyzetbe egy olyan önmagát át nem metsző zárt töröttvonalat, amelynek minden szakasza rácsegyenes mentén halad és az összes olyan rácsponton pontosan egyszer megy át, amelyik a négyzet belsejében vagy annak határán fekszik. Mutassuk meg, hogy a töröttvonal által határolt sokszög területe nagyobb, mint a négyzet területének fele.

(5 pont)

Megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. június 15-én LEJÁRT.

C. 810. Melyek azok a 45-tel osztható háromjegyű számok, amelyeknek a számjegyei a felírás sorrendjében számtani sorozatot alkotnak?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 811. Adjuk meg azokat az egymást követő egész számokat, amelyeknek az összege 100.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 812. Megy a gőzös Kanizsára a 21 km távolságra lévő Zalakomárról. Az utat 16 perc alatt teszi meg úgy, hogy indulástól egyenletesen gyorsul, majd 90~\frac{\rm km}{\rm h} állandó sebességgel halad, végül egyenletesen lassulva megáll. Mennyi ideig megy a gőzös 90~\frac{\rm km}{\rm h} sebességgel?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 813. Egy téglalap egyik oldala 10 cm hosszú. Mekkora a téglalap másik oldala, ha egy 10 cm x1 cm-es téglalap átlósan is éppen elfér benne?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 814. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert, amelyben t valós paraméter:

x+y+z=t,

x+(t+1)y+z=0,

x+y-(t+1)z=2t.

(5 pont)

Megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;

  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:

      KöMaL Szerkesztőség
      Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley