KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A B. 4007. feladat (2007. május)

B. 4007. Legyen A, B, C, D négy különböző pont a térben. A PQ szakaszt úgy ,,mozgatjuk'' át AB-ből DC-be, hogy eközben minden pillanatban P az AD szakasznak, Q pedig a BC szakasznak ugyanolyan arányú osztópontja. Ekkor a PQ szakasz egy felületet ír le. Bizonyítsuk be, hogy ugyanez a felület jön létre akkor is, ha egy RS szakaszt mozgatunk hasonlóképpen AD-ből BC-be.

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. június 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Legyen a 4 pont helyvektora a,b,c,d. Ha valamilyen 0\lex\le1 esetén a P=Px pont az AD szakaszt x:(1-x) arányban osztja, akkor ennek helyvektora px=(1-x)a+xd, és ugyanakkor a Q=Qx pont helyvektora qx=(1-x)b+xc. A PxQx szakaszt y:(1-y) arányban osztó Zx,y pont helyvektora tehát

zx,y=(1-y)px+yqx=(1-x)(1-y)a+(1-x)yb+xyc+x(1-y)d,

vagyis így írhatók le az első felület pontjainak helyvektorai, ahol az x,y paraméterek értéke 0 és 1 között tetszőlegesen változik.

Hasonlóképpen az AB szakaszt y:(1-y) arányban osztó R=Ry és a DC szakaszt szintén y:(1-y) arányban osztó S=Sy pontok helyvektora rendre ry=(1-y)a+yb és sy=(1-y)d+yc, vagyis az RySy szakaszt x:(1-x) arányban osztó Wy,x pont helyvektora

wy,x=(1-x)ry+xsy=(1-x)(1-y)a+(1-x)yb+xyc+x(1-y)d,

így írhatók le a második felület pontjainak helyvektorai, ahol az x,y paraméterek értéke szintén 0 és 1 között tetszőlegesen változik.

Mivel minden 0\lex,y\le1 esetén zx,y=wy,x, valóban ugyanazok a pontok lesznek rajta mind a két felületen.


Statisztika:

32 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Aujeszky Tamás, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Csaba Ákos, Éles András, Fonyó Dávid, Gévay Gábor, Grósz Dániel, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Korom-Vellás Judit, Kunos Ádám, Lovas Lia Izabella, Nagy 314 Dániel, Peregi Tamás, Salát Zsófia, Sümegi Károly, Szalkai Balázs, Szűcs Gergely, Tossenberger Anna, Tóth 666 László Márton, Varga 171 László, Véges Márton.
3 pontot kapott:Bodor Bertalan, Nagy 648 Donát, Nagy-Baló András.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley