Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4396. feladat (2011. november)

B. 4396. Az ABC háromszög beírt köre a b oldalt F-ben, az a oldalt G-ben érinti. Igazoljuk, hogy az A-ból a \beta szög felezőjére állított merőleges talppontja rajta van az FG egyenesen.

(3 pont)

A beküldési határidő 2011. december 12-én LEJÁRT.


Megoldás. A szóban forgó pontot jelölje \(\displaystyle P\), a beírt kör középpontját \(\displaystyle K\). Mindkét pont a \(\displaystyle B\)-ből induló \(\displaystyle f\) szögfelezőn helyezkedik el. Mivel \(\displaystyle AKB\sphericalangle=180^\circ-\alpha/2-\beta/2=90^\circ+\gamma/2>90^\circ\), az \(\displaystyle f\) félegyenesen a \(\displaystyle K\) pont elválasztja a \(\displaystyle P\) pontot a \(\displaystyle B\)-től. Az \(\displaystyle FGC\) egyenlő szárú háromszögben \(\displaystyle CGF\sphericalangle=CFG\sphericalangle=90^\circ-\gamma/2\), ezért a \(\displaystyle GPB\) háromszögben

\(\displaystyle GPB\sphericalangle=180^\circ-FGB\sphericalangle-GBP\sphericalangle= 180^\circ-(90^\circ+\gamma/2)-\beta/2=\alpha/2.\)

Vegyük észre, hogy \(\displaystyle AFK\sphericalangle=APK\sphericalangle=90^\circ\), vagyis az \(\displaystyle A,F,K\) és \(\displaystyle P\) pontok egy körön helyezkednek el. Ha \(\displaystyle P=F\), akkor az állítás nyilvánvaló. Ha \(\displaystyle P\) a háromszög belsejébe esik, akkor az \(\displaystyle AFPK\) húrnégyszögben \(\displaystyle FPK\sphericalangle=180^\circ-FAK\sphericalangle=180^\circ-\alpha/2\). Ezért az \(\displaystyle FPB\) és \(\displaystyle GPB\) szögek egymást \(\displaystyle 180^\circ\)-ra egészítik ki, tehát a \(\displaystyle P\) pont az \(\displaystyle FG\) szakasz belső pontja lesz. Végül ha \(\displaystyle P\) a háromszögön kívül helyezkedik el, akkor az \(\displaystyle APFK\) húrnégyszögben \(\displaystyle FPK\sphericalangle=FAK\sphericalangle=\alpha/2\). Ezért ekkor az \(\displaystyle FPB\) és \(\displaystyle GPB\) szögek egyenlők, tehát a \(\displaystyle P\) pont a \(\displaystyle GF\) szakasz \(\displaystyle F\)-en túli meghosszabbítására esik.


Statisztika:

60 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:Czipó Bence, Di Giovanni Márk, Havasi 0 Márton, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Jenei Adrienn, Kacz Dániel, Katona Dániel, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Makk László, Mester Márton, Nagy-György Pál, Papp Roland, Pohl Péter Mátyás, Schwarcz Tamás, Somogyvári Kristóf, Szabó 789 Barnabás, Tekeli Tamás, Tossenberger Tamás, Tulassay Zsolt, Veres Andrea, Weimann Richárd, Weisz Ambrus, Wiandt Péter, Wiandt Zsófia, Zsiros Ádám.
2 pontot kapott:28 versenyző.
1 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2011. novemberi matematika feladatai