A B. 5063. feladat (2019. december)

B. 5063. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle BC<AC\) és az \(\displaystyle ACB\sphericalangle\) derékszög. A \(\displaystyle BC\) átmérőjű kört az \(\displaystyle A\)-ból húzott érintők a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontban érintik. Az \(\displaystyle AD\) érintő egyenese a \(\displaystyle BC\) egyenest az \(\displaystyle E\) pontban metszi. A \(\displaystyle BC\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle O\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle DEO\) háromszög területe megegyezik az \(\displaystyle AEB\) háromszög területével.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(3 pont)

A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vegyük észre, hogy az \(\displaystyle A\) pontból a körhöz húzott \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle AD\) érintő szakaszok szimmetrikusak az \(\displaystyle AO\) egyenesre; tehát az \(\displaystyle ADOC\) négyszög deltoid, szimmetriatengelye az \(\displaystyle AO\) szakasz, amely egyben a \(\displaystyle COD\) szög felezője is. Az \(\displaystyle ODB\) háromszög egyenlő szárú, mert \(\displaystyle OB\) és \(\displaystyle OD\) a kör sugarai; az \(\displaystyle ODB\) háromszög alapja, \(\displaystyle BD\) párhuzamos az \(\displaystyle O\) csúcsból induló külső szögfelezővel, ami \(\displaystyle AO\). Tehát az \(\displaystyle AO\) és a \(\displaystyle BD\) egyenesek párhuzamosak.

A \(\displaystyle DBO\) és \(\displaystyle DBA\) háromszögek \(\displaystyle DB\) oldala közös, az ehhez tartozó magasságuk \(\displaystyle BD\) és \(\displaystyle AO\) párhuzamossága miatt egyenlő, a két háromszög területe tehát megegyezik. Így

\(\displaystyle T_{DEO} = T_{DEB} + T_{DBO} = T_{DEB} + T_{DBA} = T_{AEB}. \)

Statisztika:

107 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	98 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2019. decemberi matematika feladatai