A B. 5166. feladat (2021. április)

B. 5166. Vannak-e olyan \(\displaystyle 3\)-nál nagyobb \(\displaystyle p\), \(\displaystyle r\) prímszámok, amelyekre \(\displaystyle 2p^2+7r^2+2021\) számjegyeinek összege négyzetszám?

(3 pont)

A beküldési határidő 2021. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel a \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle r\) prímszámok 3-nál nagyobbak, ezért nem oszthatók 3-mal. Így viszont a \(\displaystyle p^2\) és \(\displaystyle r^2\) számok 3-as maradéka biztosan 1, hiszen \(\displaystyle (3k\pm1)^2=3(3k^2\pm2k)+1\) alapján egy 3-mal nem osztható szám négyzetének 3-as maradéka mindig 1.

Ezért a \(\displaystyle 2p^2+7r^2+2021\) szám 3-es maradéka ugyanannyi, mint a \(\displaystyle 2+7+2021=2030\) szám 3-as maradéka, ami 2. Ugyanakkor a 3-as oszthatósági szabály alapján a \(\displaystyle 2p^2+7r^2+2021\) szám 3-as maradéka megegyezik számjegyei összegének 3-as maradékával. Tehát a számjegyek összege is 2 maradékot ad 3-mal osztva.

A korábbiak alapján egy négyzetszám 3-as maradéka csak 0 vagy 1 lehet (hiszen 3-mal osztható szám négyzete is osztható 3-mal, ha pedig 3-mal nem osztható szám négyzetét vesszük, akkor 1 lesz a maradék). Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle 2p^2+7r^2+2021\) számjegyeinek összege nem lehet négyzetszám, mert 3-mal osztva 2 maradékot ad.

Statisztika:

97 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	71 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2021. áprilisi matematika feladatai