 |
A B. 5172. feladat (2021. április) |
B. 5172. Hat szabályos dobókockát egy dobópohárral egyszerre elgurítunk. A nem 6-ost mutató kockákat visszatesszük a pohárba, és újra gurítunk. Ha még mindig van olyan kocka, ami nem 6-os, akkor ezeket ismét a pohárba tesszük, és harmadszor is gurítunk. Ezt addig ismételjük, amíg minden kocka hatost nem mutat. Mennyi annak a valószínűsége, hogy pontosan hatszor gurítunk?
(6 pont)
A beküldési határidő 2021. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Úgy is képzelhetjük, hogy mindig mindegyik kockával dobunk (akkor is, ha 6-os jött ki vele), ebben a megfogalmazásban a kérdés úgy szól, mennyi annak a valószínűsége, hogy pontosan hat gurítás kell ahhoz, hogy mind a hat kockával legalább egyszer legyen 6-os dobás.
Pontosan hat gurításra akkor van szükség, ha hat elég, de öt még nem.
Először határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy hat dobás elég. Annak a valószínűsége, hogy egy kockával hatból egyszer sem sikerül 6-ost dobni \(\displaystyle (5/6)^6\). Így annak az esélye, hogy mind a hat kockával sikerül legalább egy 6-ost dobni \(\displaystyle (1-(5/6)^6)^6\).
Ehhez hasonlóan annak a valószínűsége, hogy öt gurítás elég: \(\displaystyle (1-(5/6)^5)^6\).
Annak a valószínűsége tehát, hogy pontosan hatszor gurítunk:
\(\displaystyle (1-(5/6)^6)^6-(1-(5/6)^5)^6\approx 0,0408.\)
Statisztika:
57 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Argay Zsolt, Bán-Szabó Áron, Ben Gillott, Bencsik Ádám, Bencsik Dávid, Csilling Dániel, Csizmadia Miklós, Duchon Márton, Farkas 512 Izabella, Fekete Richárd, Fülöp Csilla, Hegedűs Dániel, Jánosik Máté, Kalocsai Zoltán, Kercsó-Molnár Anita, Koleszár Domonkos, Kökényesi Márk Péter, Lenkey Gyöngyvér, Lovas Márton, Mátéfy Ádám , Metzger Ábris András, Molnár-Szabó Vilmos, Móricz Benjámin, Nádor Benedek, Nagy 551 Levente, Németh Márton, Seres-Szabó Márton, Simon László Bence, Sipeki Márton, Sógor Bence, Szanyi Attila, Sztranyák Gabriella, Terjék András József, Tóth 057 Bálint, Török Ágoston, Velich Nóra, Wiener Anna. 5 pontot kapott: Beinschroth Ninett, Csonka Illés, Osztényi József, Somogyi Martin Tibor, Szakács Ábel, Varga Boldizsár. 4 pontot kapott: 1 versenyző. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2021. áprilisi matematika feladatai