 |
A B. 5447. feladat (2025. március) |
B. 5447. Az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) pozitív valós számok összege \(\displaystyle 2025\). Határozzuk meg
\(\displaystyle x^2+y^2+z^2+20x+2y+5z \)
lehetséges legkisebb értékét.
Javasolta: Lovas Márton (Budakalász)
(3 pont)
A beküldési határidő 2025. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A kérdéses összeget jelöljük \(\displaystyle S\)-sel. Teljes négyzeteket kialakítva kapjuk, hogy
\(\displaystyle S+10^2+1^2+2{,}5^2=(x+10)^2+(y+1)^2+(z+2{,}5)^2.\)
Alkalmazzuk a számtani és négyzetes közepek közötti egyenlőtlenséget az \(\displaystyle x+10\), \(\displaystyle y+1\), \(\displaystyle z+2,5\) számokra:
\(\displaystyle \sqrt{\frac{(x+10)^2+(y+1)^2+(z+2{,}5)^2}{3}}\geq \frac{(x+10)+(y+1)+(z+2{,}5)}{3},\)
amiből
\(\displaystyle (x+10)^2+(y+1)^2+(z+2{,}5)^2\geq \frac{(x+y+z+13{,}5)^2}{3}=\frac{2038{,}5^2}{3}=1385160{,}75,\)
és ezért
\(\displaystyle S\geq 1385160{,}75-10^2-1^2-2{,}5^2=1385053{,}5.\)
Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha a fenti, számtani és négyzetes közepek közötti egyenlőtlenség egyenlőséggel teljesül, vagyis ha \(\displaystyle x+10=y+1=z+2{,}5\). Ekkor \(\displaystyle 2025=x+y+z=x+(x+9)+(x+7{,}5)=3x+16{,}5\) alapján \(\displaystyle x=669{,}5\), és így \(\displaystyle y=678{,}5\) és \(\displaystyle z=677\). Ezzel igazoltuk, hogy \(\displaystyle S\geq 1\,385\,053{,}5\), és megmutattuk, hogy egyenlőség is lehetséges, így a kérdéses összeg legkisebb lehetséges értéke \(\displaystyle 1\,385\,053{,}5\).
Statisztika:
A KöMaL 2025. márciusi matematika feladatai