 |
A B. 5531. feladat (2026. április) |
B. 5531. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének középpontja \(\displaystyle I\), az \(\displaystyle ABI\), \(\displaystyle BCI\) és \(\displaystyle CAI\) háromszögek körülírt köreinek középpontjai \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle F\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle DEF\) háromszög területe legalább akkora, mint az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe.
Javasolta: Holló Gábor (Budapest)
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. május 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyenek a háromszög szögei a szokásos módon \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \gamma\), a körülírt kör sugara pedig \(\displaystyle r\). Jól ismert, hogy a \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\) pontok a körülírt körön a csúcsokkal szemközti \(\displaystyle \widehat{BC}\), \(\displaystyle \widehat{CA}\), \(\displaystyle \widehat{AB}\) íveinek felezőpontjai. (Lásd például a B. 5291. feladat megoldását, vagy az angol nyelvű irodalomban az incenter-excenter lemmát.)
A \(\displaystyle \widehat{BC}\), \(\displaystyle \widehat{CA}\), \(\displaystyle \widehat{AB}\), \(\displaystyle \widehat{EF}\), \(\displaystyle \widehat{FD}\), \(\displaystyle \widehat{DE}\) ívek középponti szöge rendre \(\displaystyle 2\alpha\), \(\displaystyle 2\beta\), \(\displaystyle 2\gamma\), \(\displaystyle \beta+\gamma\), \(\displaystyle \gamma+\alpha\), illetve \(\displaystyle \alpha+\beta\), így
\(\displaystyle BC=2r\sin\alpha, \quad CA=2r\sin\beta, \quad AB=2r\sin\gamma, \)
\(\displaystyle EF=2r\sin(\beta+\gamma), \quad FD=2r\sin(\gamma+\alpha), \quad DE=2r\sin(\alpha+\beta). \)
Az \(\displaystyle t=\dfrac{abc}{4r}\) területképletet felírva a két háromszögre,
\(\displaystyle t_{ABC} = \dfrac{BC\cdot CA\cdot AB}{4r} = 2r^2\cdot\sin\alpha\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma \)
és
\(\displaystyle t_{DEF} = \dfrac{EF\cdot FD\cdot DE}{4r} = 2r^2 \cdot\sin\frac{\beta+\gamma}2 \cdot\sin\frac{\gamma+\alpha}2 \cdot\sin\frac{\alpha+\beta}2, \)
tehát azt kell igazolnunk, hogy
| \(\displaystyle \sin\alpha\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma \le \cdot\sin\frac{\beta+\gamma}2 \cdot\sin\frac{\gamma+\alpha}2 \cdot\sin\frac{\alpha+\beta}2. \) | \(\displaystyle (1) \) |
Ennek bizonyításához vegyük észre, hogy a számtani-mértani közepek és a \(\displaystyle \sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}2\cos\frac{x-y}2\) azonosság felhasználásával
| \(\displaystyle \sqrt{\sin\alpha\sin\beta} \stackrel{\text{}}\le \frac{\sin\alpha+\sin\beta}{2} = \sin\frac{\alpha+\beta}2\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}2\cdot \le \sin\frac{\alpha+\beta}2, \) | \(\displaystyle (2) \) |
és egyenlőség csak \(\displaystyle \alpha=\beta\) esetén áll fenn.
Ugyanígy kaphatjuk, hogy
| \(\displaystyle \sqrt{\sin\beta\sin\gamma} \le \sin\frac{\beta+\gamma}2 \) | \(\displaystyle (3) \) |
és
| \(\displaystyle \sqrt{\sin\gamma\sin\alpha} \le \sin\frac{\gamma+\alpha}2, \) | \(\displaystyle (4) \) |
és egyenlőség csak akkor áll, ha \(\displaystyle \beta=\gamma\), illetve \(\displaystyle \gamma=\alpha\).
A \(\displaystyle (2)-(4)\) egyenlőtlenségek szorzata éppen a bizonyítandó \(\displaystyle (1)\); azt is látjuk, hogy az \(\displaystyle (1)\)-ben egyenlőség csak a szabályos háromszög esetén lép fel.
Statisztika:
A B. 5531. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. áprilisi matematika feladatai