Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1200. feladat (2013. december)

C. 1200. Oldjuk meg a

2^{\sqrt{9-4x^2}} =1-\bigg|\frac{1}{2}-\Big|\frac{1}{3}x\Big|\bigg|

egyenletet.

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A bal oldal legalább \(\displaystyle 2^0=1\), a jobb oldal pedig legfeljebb \(\displaystyle 1-0=1\). Tehát a két oldal csak úgy lehet egyenlő, ha mindkettő 1.

Ha a bal oldal 1, akkor a kitevő, vagyis \(\displaystyle \sqrt{9-4x^2}=0\). Ebből \(\displaystyle 9-4x^2=0\), vagyis \(\displaystyle 9=4x^2\) és innen \(\displaystyle x=\pm\frac32\).

Ha a jobb oldal 1, akkor \(\displaystyle \left|\frac12-\left|\frac13x\right|\right|=0\), amiből \(\displaystyle \frac12-\left|\frac13x\right|=0\) következik. Vagyis \(\displaystyle \frac12=\left|\frac13x\right|\), és innen \(\displaystyle \pm\frac12=\frac13x\), azaz \(\displaystyle \pm\frac32=x\) következik.

Mivel a bal és a jobb oldal ugyanazon \(\displaystyle x\) értékek esetén éri el az 1-et, ezért a megoldás: \(\displaystyle x=\pm\frac32\).

Statisztika:

191 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:126 versenyző.
4 pontot kapott:48 versenyző.
3 pontot kapott:9 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
Nem versenyszerű:6 dolgozat.

A KöMaL 2013. decemberi matematika feladatai