Problem C. 1824. (October 2024)

C. 1824. Next year, Boglárka wants to read ten different books; the thicker the book, the longer she plans to spend on it. She has decided to dedicate 5, 10, 15, ..., 45, and 50 days to reading each of the books. The remaining period of time will be divided into three equal parts, which she will use for active rest. She can use these rest periods for sports at any time during the year (even several of them consecutively). If she has to read two books without inserting a rest period in between, she will always start with the thicker one. In how many different ways can Boglárka allocate the \(\displaystyle 365\) days for reading the books?

Proposed by Katalin Abigél Kozma, Győr

(5 pont)

Deadline expired on November 11, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Boglárka összesen \(\displaystyle 5+10+15+ \ldots +45+50=\frac{5+50}{2} \cdot 10=275\) napot olvasással fog tölteni, így a maradék \(\displaystyle 365-275=90\) napot fel tudja osztani három \(\displaystyle 30-30\) napos pihenőre. Ez a három egyforma időintervallum az évet négy időszakra bontja, amelyek bármelyike lehet üres is (azaz előfordulhat, hogy nem kerül bele olvasnivaló). Nyilvánvaló, hogy a két pihenő között elolvasandó könyvek sorrendje egyértelmű, hiszen a legvastagabbal kezdi, majd sorban halad az egyre vékonyabb könyvek elolvasásával. Mivel Boglárka a tíz könyv bármelyikét beoszthatja a négy időszak bármelyikébe, ezért \(\displaystyle 4^{10}=1\,048\,576\) különböző beosztást készíthet.

Statistics:

165 students sent a solution.
5 points:	Bara Boglárka , Barna Márton, Bélteki Teó, Bencze Mátyás, Bense Tamás, Bernáth Csenge, Budai Máté, Csáti Ambrus, Danka Emma, Fejes-Tóth Fanni, Földi Albert, Fülöp Magdaléna, Hajnal Ákos Huba, Hetyei Dániel, Hicsó Máté Kristóf, Iván Máté Domonkos, Kallós Klára, Kókai Ákos, Komlósdi Sára, Kudomrák Lili Anna , Kulcsár Anna Zita, Kun Milán, Kun Zsófia, Lovas Márk, Márfai Dóra, Maróti Olga, Masa Barnabás, Mateas Isabelle, Mihály Attila, Molnár-Sáska Tamás, Monoczki Máté, Nelissen Sámuel Zalán, Ördög Dominik, Palásthy Bánk, Pázmándi Renáta , Péter Tamás, Pink István, Szighardt Anna, Szmodics Emese Anna, Tarján Ferenc , Tóth 207 Bence, Viczián Adél, Winkler-Antal Dalma, Wodala Gréta Klára, Zádori Gellért.
4 points:	10 students.
3 points:	9 students.
2 points:	15 students.
1 point:	61 students.
0 point:	4 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	10 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2024