 |
A K/C. 892. feladat (2026. február) |
K/C. 892. Cikkcakk számnak hívjuk az olyan számokat, amelyek számjegyeit balról jobbra tekintve az első számjegynél kisebb a második, a második számjegynél nagyobb a harmadik, a harmadiknál kisebb a negyedik és így tovább. Hányféle, ötjegyű cikkcakk számot készíthetünk az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 7\) számjegyekből?
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen az ötjegyű cikcakk szám az \(\displaystyle \overline{abcde}\), amelynek minden számjegye az \(\displaystyle A=\{1;2;3;4;5;6;7\}\) halmaz eleme és amelyekre egyrészt a feltételek alapján teljesül, hogy
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle a>b;\quad b<c;\quad c>d;\quad d<e,\) |
másrészt a számjegyek ismétlődhetnek, ezt a feladat feltétele megengedi.
Tekintsük a középső számjegyet, vagyis a \(\displaystyle c\)-t. Tekintsük a \(\displaystyle c\)-től balra levő \(\displaystyle a,b\) számokat számpárnak, hasonlóan a \(\displaystyle c\)-től jobbra levő \(\displaystyle d,e\) számokat is számpárnak. A két számpár nyilván független egymástól.
Mivel \(\displaystyle a>b; \quad b<c\) és a számjegyek a feltételek mellett nem feltétlenül különbözők, ezért \(\displaystyle b\) bármilyen értéket felvehet \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle c-1\)-ig, az \(\displaystyle a\) pedig bármilyen értéket felvehet \(\displaystyle b+1\)-től \(\displaystyle 7\)-ig, ez utóbbi éppen \(\displaystyle 7-b\)-féle lehetőség.
Jelöljük a \(\displaystyle c\)-hez képest bal oldali számpárok számát \(\displaystyle P(c)\)-vel, ez az előzőek szerint
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle P(c)=\sum_{b=1}^{c-1}\Big(7-b\Big).\) |
A \(\displaystyle c\)-től jobbra levő \(\displaystyle d,e\) számpár esetén ugyanez a helyzet, \(\displaystyle d<c\) és \(\displaystyle e>d\), eszerint a \(\displaystyle c\)-től jobbra levő lehetséges számpárok száma ugyancsak \(\displaystyle P(c)\), és mivel a \(\displaystyle c\)-hez képest balra, illetve jobbra elhelyezkedő számpárok egymástól függetlenek, ezért adott \(\displaystyle c\)-re a cikcakk számok száma \(\displaystyle \Big[P(c)\Big]^2\), az összes pedig
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle Q=\sum_{c=2}^{7}\Big[P(c)\Big]^2.\) |
Számoljuk ki ezután \(\displaystyle P(c)\)-t minden lehetséges \(\displaystyle c\)-re.
A \(\displaystyle c=1\) nem megfelelő, mert ebben az esetben a \(\displaystyle b<c\) feltétel miatt az \(\displaystyle A=\{1;2;3;4;5;6;7\}\) halmazban nincs megfelelő \(\displaystyle b\) szám.
Ha \(\displaystyle c=2\), akkor csak \(\displaystyle b=1\) lehet, ezért az \(\displaystyle a\) szám a \(\displaystyle \{2;3;4;5;6;7\}\) halmaz eleme, amelynek nyilván nem eleme az \(\displaystyle 1\) az \(\displaystyle a>b\) feltétel miatt, így
\(\displaystyle P(2)=6.\)
Ha \(\displaystyle c=3\), akkor az (1) feltételek miatt \(\displaystyle b=1\) vagy \(\displaystyle b=2\).
A \(\displaystyle c=3, b=1\) esetben az \(\displaystyle a\) értéke \(\displaystyle 7-b=6\)-féle lehet, ha \(\displaystyle c=3, b=2\), akkor \(\displaystyle 7-b=5\), eszerint pedig
\(\displaystyle P(3)=6+5=11.\)
Hasonlóan egyszerűen kiszámolható, hogy ha \(\displaystyle c=4\), akkor \(\displaystyle b=1, b=2\) vagy \(\displaystyle b=3\), ezért
\(\displaystyle P(4)=6+5+4=15,\)
valamint ha \(\displaystyle c=5\), akkor \(\displaystyle b=1;\quad b=2;\quad b=3\) vagy \(\displaystyle b=4\), és így
\(\displaystyle P(5)=6+5+4+3=18.\)
A \(\displaystyle c=6\) esetén \(\displaystyle b=1;\quad b=2;\quad b=3;\quad b=4\) vagy \(\displaystyle b=5\), tehát
\(\displaystyle P(6)=6+5+4+3+2=20.\)
Végül pedig \(\displaystyle c=7\) mellett \(\displaystyle b=1;\quad b=2;\quad b=3;\quad b=4;\quad b=5\) vagy \(\displaystyle b=6\), ebből pedig
\(\displaystyle P(7)=6+5+4+3+2+1=21.\)
Eredményeink szerint tehát a feltételeknek megfelelő cikcakk-számok összes száma
\(\displaystyle Q=P(2)^2+P(3)^2+P(4)^2+P(5)^2+P(6)^2+P(7)^2=6^2+11^2+15^2+18^2+20^2+21^2=1547.\)
Ezzel a megoldást befejeztük.
Statisztika:
184 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Barát Balázs Botond, Bogoly Zsombor, Bora Ádám, Csécsei Loretta, Csikós Attila, Csutak András, Farkas Réka, Galambos Ádám, Gintner Annabella , Gyúri Benedek, Hegyi Barnabás, Holló Barnabás, Jánosi Bence, Kádár Luca Linda, Kármán Gergely, Kispál Villő, Kovács Dániel József , Kovács Domonkos, Körmöndi Csanád, Kudomrák Lili Anna , Lajkó Linda, Lakatos Emma Éva, Li Tanran, Lippai Dávid, Lovas Márk, Majer Veronika, Makra Zóra Liliána, Máté Zsófia, Mező Bence, Murányi Nimród Máté, Nagypál Katóca, Nguyen Dang Thuy Chi, Rotter Szabolcs, Sándor Bence, Sasvári Zoltán, Szabó Szilárd, Szabó Zoárd, Szamkó Bálint, Szighardt Anna, Szűcs Botond, Tamás Bálint Gábor, Winkler-Antal Dalma, Zita Vivien , Zsilák Márk Péter. 4 pontot kapott: Dezső Kincső, Nagy Ádám Kornél , Szabó Helga. 3 pontot kapott: 80 versenyző. 2 pontot kapott: 39 versenyző. 1 pontot kapott: 14 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2026. februári matematika feladatai