 |
A K/C. 892. feladat (2026. február) |
K/C. 892. Cikkcakk számnak hívjuk az olyan számokat, amelyek számjegyeit balról jobbra tekintve az első számjegynél kisebb a második, a második számjegynél nagyobb a harmadik, a harmadiknál kisebb a negyedik és így tovább. Hányféle, ötjegyű cikkcakk számot készíthetünk az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 7\) számjegyekből?
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen az ötjegyű cikcakk szám az \(\displaystyle \overline{abcde}\), amelynek minden számjegye az \(\displaystyle A=\{1;2;3;4;5;6;7\}\) halmaz eleme és amelyekre egyrészt a feltételek alapján teljesül, hogy
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle a>b;\quad b<c;\quad c>d;\quad d<e,\) |
másrészt a számjegyek ismétlődhetnek, ezt a feladat feltétele megengedi.
Tekintsük a középső számjegyet, vagyis a \(\displaystyle c\)-t. Tekintsük a \(\displaystyle c\)-től balra levő \(\displaystyle a,b\) számokat számpárnak, hasonlóan a \(\displaystyle c\)-től jobbra levő \(\displaystyle d,e\) számokat is számpárnak. A két számpár nyilván független egymástól.
Mivel \(\displaystyle a>b; \quad b<c\) és a számjegyek a feltételek mellett nem feltétlenül különbözők, ezért \(\displaystyle b\) bármilyen értéket felvehet \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle c-1\)-ig, az \(\displaystyle a\) pedig bármilyen értéket felvehet \(\displaystyle b+1\)-től \(\displaystyle 7\)-ig, ez utóbbi éppen \(\displaystyle 7-b\)-féle lehetőség.
Jelöljük a \(\displaystyle c\)-hez képest bal oldali számpárok számát \(\displaystyle P(c)\)-vel, ez az előzőek szerint
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle P(c)=\sum_{b=1}^{c-1}\Big(7-b\Big).\) |
A \(\displaystyle c\)-től jobbra levő \(\displaystyle d,e\) számpár esetén ugyanez a helyzet, \(\displaystyle d<c\) és \(\displaystyle e>d\), eszerint a \(\displaystyle c\)-től jobbra levő lehetséges számpárok száma ugyancsak \(\displaystyle P(c)\), és mivel a \(\displaystyle c\)-hez képest balra, illetve jobbra elhelyezkedő számpárok egymástól függetlenek, ezért adott \(\displaystyle c\)-re a cikcakk számok száma \(\displaystyle \Big[P(c)\Big]^2\), az összes pedig
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle Q=\sum_{c=2}^{7}\Big[P(c)\Big]^2.\) |
Számoljuk ki ezután \(\displaystyle P(c)\)-t minden lehetséges \(\displaystyle c\)-re.
A \(\displaystyle c=1\) nem megfelelő, mert ebben az esetben a \(\displaystyle b<c\) feltétel miatt az \(\displaystyle A=\{1;2;3;4;5;6;7\}\) halmazban nincs megfelelő \(\displaystyle b\) szám.
Ha \(\displaystyle c=2\), akkor csak \(\displaystyle b=1\) lehet, ezért az \(\displaystyle a\) szám a \(\displaystyle \{2;3;4;5;6;7\}\) halmaz eleme, amelynek nyilván nem eleme az \(\displaystyle 1\) az \(\displaystyle a>b\) feltétel miatt, így
\(\displaystyle P(2)=6.\)
Ha \(\displaystyle c=3\), akkor az (1) feltételek miatt \(\displaystyle b=1\) vagy \(\displaystyle b=2\).
A \(\displaystyle c=3, b=1\) esetben az \(\displaystyle a\) értéke \(\displaystyle 7-b=6\)-féle lehet, ha \(\displaystyle c=3, b=2\), akkor \(\displaystyle 7-b=5\), eszerint pedig
\(\displaystyle P(3)=6+5=11.\)
Hasonlóan egyszerűen kiszámolható, hogy ha \(\displaystyle c=4\), akkor \(\displaystyle b=1, b=2\) vagy \(\displaystyle b=3\), ezért
\(\displaystyle P(4)=6+5+4=15,\)
valamint ha \(\displaystyle c=5\), akkor \(\displaystyle b=1;\quad b=2;\quad b=3\) vagy \(\displaystyle b=4\), és így
\(\displaystyle P(5)=6+5+4+3=18.\)
A \(\displaystyle c=6\) esetén \(\displaystyle b=1;\quad b=2;\quad b=3;\quad b=4\) vagy \(\displaystyle b=5\), tehát
\(\displaystyle P(6)=6+5+4+3+2=20.\)
Végül pedig \(\displaystyle c=7\) mellett \(\displaystyle b=1;\quad b=2;\quad b=3;\quad b=4;\quad b=5\) vagy \(\displaystyle b=6\), ebből pedig
\(\displaystyle P(7)=6+5+4+3+2+1=21.\)
Eredményeink szerint tehát a feltételeknek megfelelő cikcakk-számok összes száma
\(\displaystyle Q=P(2)^2+P(3)^2+P(4)^2+P(5)^2+P(6)^2+P(7)^2=6^2+11^2+15^2+18^2+20^2+21^2=1547.\)
Ezzel a megoldást befejeztük.
Statisztika:
A K/C. 892. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. februári matematika feladatai