A K. 402. feladat (2013. december)

K. 402. Bizonyítsuk be, hogy két egymást követő páratlan szám reciprokait összeadva olyan törtszámot kapunk, amelynek számlálója és nevezője egy pitagoraszi számhármas két kisebb tagja.

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a két szám \(\displaystyle 2a–1\) és \(\displaystyle 2a+1\). Reciprokaik összege: \(\displaystyle \frac{1}{2a-1}+\frac{1}{2a+1}=\frac{2a-1+2a+1}{(2a-1)(2a+1)}=\frac{4a}{4a^{2}-1}\). Ha a számláló és a nevező egy pitagoraszi számhármas két kisebb tagja, akkor négyzeteik összege négyzetszám. Adjuk hát össze a számláló és a nevező négyzetét: \(\displaystyle (4a)^{2}+(4a^{2}-1)^{2}=16a^{2}+16a^{4}-8a^{2}+1=16a^{4}+8a^{2}+1=(4a^{2}+1)^{2}\), ami valóban négyzetszám.

Statisztika:

132 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	97 versenyző.
5 pontot kapott:	5 versenyző.
4 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	16 dolgozat.

A KöMaL 2013. decemberi matematika feladatai