A K. 444. feladat (2014. december)

K. 444. Melyik az a legnagyobb szám, ami 22-vel, 33-mal és 55-tel osztható, azonban 52-vel, 117-tel és 325-tel nem osztható, és 18404100-nak osztója?

(6 pont)

A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.

Megoldás: Ha a szám osztható 22-vel, 33-mal és 55-tel, akkor ezek legkisebb közös többszörösével is, ami \(\displaystyle 2\cdot 3\cdot 5 \cdot 11\), azaz a szám prímtényezői között ezek biztosan szerepelnek. Másrészt a szám osztója \(\displaystyle 18404100=2^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 11^2\cdot 13^2\)-nak ezért csak ennek prímtényezőiből válogathatunk. Mivel nem osztható \(\displaystyle 52=2^2\cdot 13\)-mal, így több 2-es szorzó és 13-as szorzó egyszerre nem lehet a számban. Nem osztható \(\displaystyle 117=3^2\cdot13\)-mal, így több 3-as szorzó és 13-as szorzó egyszerre nem lehet a számban, végül mivel nem osztható \(\displaystyle 325=5^2\cdot 13\)-mal, így több 5-ös szorzó és 13-as szorzó egyszerre nem lehet a számban. Ezek alapján, akár 2-es, akár 3-as, akár 5-ös szorzó van még a számban, nem lehet 13-as, viszont 13-as lehetne kettő is. Mivel \(\displaystyle 13^2 > 2\cdot3\cdot5=30\), így a legnagyobb megfelelő szám a \(\displaystyle 2\cdot3\cdot5\cdot11^2\cdot13^2=613470\).

Statisztika:

91 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Dévény Csaba, Dömötör Emőke, Encz Koppány, Farkas Ádám, Farkas Lilla, Fazekas 15 Levente, Harsányi Benedek, Hidy Gábor, János Zsuzsa Anna, Járomi Bence, Koronczi Fanni, Lakatos Ágnes, Márton Anna, Nagy Marcell, Németh Csilla Márta, Németh Levente , Oravecz Janka Éva, Öcsi Rebeka, Páhoki Tamás, Paulovics Péter, Perényi Gellért, Péri Gergő Gábor, Rátkai Petra, Rimai 217 Dániel, Slenker Balázs, Szilágyi Botond, Szűcs 865 Eszter, Tamási Kristóf Áron, Tószegi Fanni, Varga 274 Tamás, Veliczky Barnabás.
5 pontot kapott:	Csizmadia Róbert, Hegedűs 330 Marcell, Maksa Gergő, Mihályházi Péter, Pécsi 117 Ildikó, Pintér 345 Balázs, Szalay Gergő, Sziráki Boglárka Tünde, Thuróczy Mylan, Valkó Bence, Wenczel Kata, Zhang Xin .
4 pontot kapott:	8 versenyző.
3 pontot kapott:	18 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	10 dolgozat.

A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai