A K. 895. feladat (2026. március)

K. 895. Néhány különböző pozitív prímszám összege \(\displaystyle 40\). Melyek lehetnek ezek a prímek?

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A 40-nél kisebb prímek: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.

Ha két prím összege 40, akkor ezek lehetnek: \(\displaystyle 3+37\), \(\displaystyle 11+29\), \(\displaystyle 17+23\).

Három prím összege csakis úgy lehet 40, ha az egyik prím a 2, mert egyéb esetben páratlan lenne az összegük. Ekkor a másik két prím összege 38. Egy ilyen prímhármas van: \(\displaystyle 2+7+31\).

Ha négy prím összege 40, akkor ezek csakis páratlan prímek lehetnek: (A legkisebb, de nem megfelelő \(\displaystyle 3+5+7+11\)-ből kiindulva:) \(\displaystyle 3+5+13+19\), \(\displaystyle 3+7+11+19\), \(\displaystyle 3+7+13+17\), \(\displaystyle 5+7+11+17\).

Öt prím összege csakis úgy lehet 40, ha az egyik prím a 2, mert egyéb esetben páratlan lenne az összegük. A nem megfelelő \(\displaystyle 2+3+5+7+11=28\)-ból kiindulva a megfelelő prímötösök: \(\displaystyle 2+3+5+7+23\), \(\displaystyle 2+3+5+11+19\), \(\displaystyle 2+3+5+13+17\), \(\displaystyle 2+3+7+11+17\).

(Vagy másképp végiggondolva: a 2-t levonva a két kisebb és két nagyobb prím összege 38. A kisebb prímek összege lehet 8, 10, 12, 14, 16, 18; a megfelelő nagyobbaké: 30, 28, 26, 24, 22.

\(\displaystyle 8=3+5\), \(\displaystyle 10=3+7\), \(\displaystyle 12=5+7\), \(\displaystyle 14=3+11\), \(\displaystyle 16=3+13\), \(\displaystyle 18=5+13=7+11\).

A nagyobb prímek közül a kisebb nagyobb, mint a kisebbek közül a nagyobb, így:

\(\displaystyle 30=7+23=11+19=13+17\),   \(\displaystyle 28=11+17\),   \(\displaystyle 26\): nincs jó,   \(\displaystyle 24\): nincs jó,   \(\displaystyle 22\): nincs jó.)

Hat prím összege 40 nem lehet, mert a legkisebb prímösszeg is több 40-nél. 2+3+5+7+11+13=41)

Statisztika:

A K. 895. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. márciusi matematika feladatai