 |
A K. 896. feladat (2026. március) |
K. 896. Adott egy \(\displaystyle R\) sugarú kör. A körhöz egy külső \(\displaystyle P\) pontból érintőegyeneseket rajzolunk. A két egyenes által bezárt szög \(\displaystyle 60^{\circ}\), a kör az egyik \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os szögtartományba esik. Hány olyan egységsugarú kör rajzolható, amely a kör és a két egyenes közül pontosan kettőt érint, ha
a) \(\displaystyle R=3\); b) \(\displaystyle R=4\)?
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. a) Először megvizsgáljuk a kör és a két egyenes által meghatározott korlátos síkrészt. Tekintsük az alábbi ábrát.
Az ábrán a \(\displaystyle POC\) és \(\displaystyle PKB\) derékszögű háromszögek félszabályos háromszögek, így \(\displaystyle OC = 3\) miatt \(\displaystyle OP = 6\), de \(\displaystyle OE = OC\), így \(\displaystyle EP = 3\). A kisebb körre ugyanezek az összefüggések érvényesek, \(\displaystyle KB = KE = r\), \(\displaystyle KP = 2r\). Mivel \(\displaystyle EP = r + 2r = 3\), ezért \(\displaystyle r = 1\), így a \(\displaystyle K\) középpontú, a két egyenest és az \(\displaystyle O\) középpontú kört is érintő kör sugara 1 egység. Beláttuk, hogy ebbe a síkrészbe pontosan egy olyan egységsugarú kör fér bele, amely egyszerre mindhárom objektumot érinti, így nem felel meg a feltételeknek. Most tekintsük az alábbi ábrát:
Látható, hogy \(\displaystyle 9\) kör érint pontosan két objektumot a három közül, tehát az a) esetben a megfelelő körök száma \(\displaystyle 9.\)
b) Az ábrát elkészítve láthatjuk, hogy összesen \(\displaystyle 12\) megfelelő kör létezik.
Statisztika:
46 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Adamcsek Ágnes, Árvai Csongor, Bachesz Kende, Csikós Attila, Csutak András, Egyedi Bernadett, Fukuda-Horváth Soma, Kelepecz Kornél Zoltán, Körmöndi Csanád, Nagy Ádám Máté, Papp Dénes, Percze Gréta, Pirkhoffer Bence, Szabó Ábel, Szabó Zoárd, Tamás Bálint Gábor. 4 pontot kapott: Lajkó Linda, Sági Ambrus. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 10 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2026. márciusi matematika feladatai