A K. 904. feladat (2026. május)

K. 904. Egy faluban három utca van: a \(\displaystyle T\), a \(\displaystyle V\) és a \(\displaystyle P\) utca. A \(\displaystyle T\) utcában tartózkodó emberek mindig igazat mondanak, a \(\displaystyle V\) utcában mindig hazudnak, a \(\displaystyle P\) utcában tartózkodók beszédében pedig igaz és hamis mondatok felváltva követik egymást. Egy nap a falu tűzoltótornyában az ügyeletes megfigyelő egy füstoszlopot látott felszállni az egyik utcából. Másodpercekkel ezután megszólalt a telefon: A hívó csak ennyit mondott: „Tűz van az utcában!” Az ügyeletes tűzoltó megkérdezte: „Melyik utcában?” A hívó válasza a következő volt: „A \(\displaystyle P\) utcában.” Melyik utcába kellett menniük a tűzoltóknak?

Észt versenyfeladat

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Azt fogjuk kideríteni, hogy a hívás melyik utcából érkezhetett.

Tegyük fel először, hogy a hívó a \(\displaystyle T\) utcából telefonált. Mivel a \(\displaystyle T\) utcában tartózkodók mindig igazat mondanak, ezért az első kijelentés szerint a tűznek a \(\displaystyle T\) utcában kellene lennie. Ugyanakkor a hívó második kijelentésének is igaznak kell lennie, eszerint a tűz a \(\displaystyle P\) utcában van. Ez nyilvánvaló ellentmondás, tehát a tűzoltókat nem a \(\displaystyle T\) utcából hívták.

Ha a hívás a \(\displaystyle V\) utcából történt, akkor a telefonáló mindkét állítása hamis kell legyen, vagyis egyrészt a tűz nem \(\displaystyle V\) utcában van, másrészt nem is a \(\displaystyle P\) utcában van. Itt nem lép fel ellentmondás, eszerint a tűz a \(\displaystyle T\) utcában lehet.

Végül, ha a hívó a \(\displaystyle P\) utcából telefonált, akkor a feltétel szerint az egyik állításának hamisnak, a másiknak igaznak kell lennie.

Ha az első állítása igaz, akkor a tűz abban az utcában van, ahol a hívó tartózkodik, vagyis a \(\displaystyle P\) utcában, de így a második állítás is igaz, ez pedig ellentmondás, hiszen a \(\displaystyle P\) utcában tartózkodók felváltva mondanak igazat és hamisat. Ha a \(\displaystyle P\)-beli hívó első állítása hamis lenne, akkor a tűz biztosan nem a \(\displaystyle P\) utcában van, ennek ellentmond a hívó második mondata, amely igaz kell legyen. Emiatt a tűzoltókat értesítő hívás nem érkezhetett a \(\displaystyle P\) utcából.

Csak abban az esetben nem jutottunk ellentmondásra, amikor a hívás a \(\displaystyle V\) utcából érkezett, ennek megfelelően a tűzoltóknak a \(\displaystyle T\) utcába kellett menniük.

Statisztika:

A K. 904. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. májusi matematika feladatai