A K. 906. feladat (2026. május)

K. 906. Egy téglalap egyik átlója a téglalap egyik oldalának háromszorosa, a másik oldalánál egy egységgel hosszabb. Egységben mérve mekkorák a téglalap oldalai?

Javasolta: Czett Mátyás (Zalaegerszeg)

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek a téglalap oldalai \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\), átlója \(\displaystyle c\). A feltételek szerint \(\displaystyle c=3a\) és \(\displaystyle c=b+1\), a Pitagorasz-tétel szerint \(\displaystyle a^2+b^2=c^2\). Fejezzük ki mindhárom hosszat \(\displaystyle a\) segítségével: \(\displaystyle a=a\), \(\displaystyle b=3a-1\) és \(\displaystyle c=3a\), amiből \(\displaystyle a^2+(3a-1)^2=(3a)^2\). Rendezzük az egyenletet:

\(\displaystyle 10a^2-6a+1=9a^2,\)

\(\displaystyle a^2-6a+9=8,\)

\(\displaystyle (a-3)^2=8,\)

\(\displaystyle a=3\pm\sqrt8,\)

ezért \(\displaystyle a=3-\sqrt8\) vagy \(\displaystyle a=3+\sqrt8\), de előbbi esetben \(\displaystyle b=c-1=3a-1\) negatív lenne, ezért \(\displaystyle a=3+\sqrt8\), \(\displaystyle b=8+3\sqrt8\) az egyetlen megoldás, ekkor az átló hossza \(\displaystyle c=9+3\sqrt8\).

Tehát a téglalap oldalai \(\displaystyle 3+\sqrt 8\) és \(\displaystyle 8+3\sqrt8\) egység hosszúak.

Statisztika:

A K. 906. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. májusi matematika feladatai