A K. 906. feladat (2026. május)

K. 906. Egy téglalap egyik átlója a téglalap egyik oldalának háromszorosa, a másik oldalánál egy egységgel hosszabb. Egységben mérve mekkorák a téglalap oldalai?

Javasolta: Czett Mátyás (Zalaegerszeg)

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek a téglalap oldalai \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\), átlója \(\displaystyle c\). A feltételek szerint \(\displaystyle c=3a\) és \(\displaystyle c=b+1\), a Pitagorasz-tétel szerint \(\displaystyle a^2+b^2=c^2\). Fejezzük ki mindhárom hosszat \(\displaystyle a\) segítségével: \(\displaystyle a=a\), \(\displaystyle b=3a-1\) és \(\displaystyle c=3a\), amiből \(\displaystyle a^2+(3a-1)^2=(3a)^2\). Rendezzük az egyenletet:

\(\displaystyle 10a^2-6a+1=9a^2,\)

\(\displaystyle a^2-6a+9=8,\)

\(\displaystyle (a-3)^2=8,\)

\(\displaystyle a=3\pm\sqrt8,\)

ezért \(\displaystyle a=3-\sqrt8\) vagy \(\displaystyle a=3+\sqrt8\), de előbbi esetben \(\displaystyle b=c-1=3a-1\) negatív lenne, ezért \(\displaystyle a=3+\sqrt8\), \(\displaystyle b=8+3\sqrt8\) az egyetlen megoldás, ekkor az átló hossza \(\displaystyle c=9+3\sqrt8\).

Tehát a téglalap oldalai \(\displaystyle 3+\sqrt 8\) és \(\displaystyle 8+3\sqrt8\) egység hosszúak.

Statisztika:

62 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Adamcsek Ágnes, Apostol Máté, Bachesz Kende, Barát Balázs Botond, Becker Borbála Réka, Bogoly Zsombor, Buliczka Csombor, Csaba Gréta, Cseh Sára Éva, Cséke Balázs, Csikai Tímea, Csikós Attila, Csutak András, Egyedi Bernadett, Erdei Kende, Fukuda-Horváth Soma, Fülöp Menyhért, Gusztony Dániel, Győrffy Réka Rebeka, Hajnal Kamilla, Körmöndi Csanád, Lajkó Linda, Leányvári Benjámin, Mészáros Tamás Áron, Mileff Péter, Nagy Ádám Máté, Nagy Márton, Papp Dénes, Percze Gréta, Pintér-Lukács Erik, Pirkhoffer Bence, Szabó 667 Dóra Klára, Szabó Ábel, Szabó Zoárd, Száraz Gergő, Szőnyi Artúr, Tamás Bálint Gábor, Terdy Jázmin, Varga 333 Áron, Verebély Nadin.
4 pontot kapott:	19 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2026. májusi matematika feladatai