Problem P. 5089. (January 2019)

P. 5089. The frictionless trajectory shown in the figure consists of two circular arcs. A tiny object starts to slide from point \(\displaystyle A\) along the trajectory with a very small initial speed. How long does it take for the tiny object to reach the right end of the curved path (point \(\displaystyle B\))?

(4 pont)

Deadline expired on February 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy \(\displaystyle d\) szélességű és \(\displaystyle h\) mélységű körív \(\displaystyle \ell\) sugara a Pitagorasz-tétel segítségével határozható meg:

\(\displaystyle \left(\frac{d}{2}\right)^2+(\ell-h)^2= \ell^2,\)

ahonnan

\(\displaystyle \ell= \frac{d^2}{8h}+\frac{h}{2}.\)

A feladat ábráján látható adatokkal a bal oldali körív sugara \(\displaystyle \ell_1=151{,}5\) cm, a jobb oldali körív sugara pedig \(\displaystyle \ell_2=268{,}2\) cm. A kicsiny test mozgása a köríveken éppen olyan, mint egy \(\displaystyle \ell_1\), illetve \(\displaystyle \ell_2\) hosszúságú fonálinga fél-fél lengése. (Ez jól látszik onnan, hogy – az energiamegmaradás törvénye szerint – mindkét mozgásnál a pályák egymásnak megfeleltethető pontjaiban ugyanakkora a test sebessége.) Az \(\displaystyle A\) pontból a \(\displaystyle B\) pontba jutás teljes időtartama tehát

\(\displaystyle T=\pi\sqrt{\frac{\ell_1}{g}}+\pi\sqrt{\frac{\ell_2}{g}}=\pi\left(\sqrt{\frac{1{,}51~\rm m}{9{,}81~\rm m/s^2}}+\sqrt{\frac{2{,}68~\rm m}{9{,}81\rm m/s^2}}\right)\,{\rm s}\approx2{,}9~{\rm s}.\)

Statistics:

64 students sent a solution.
4 points:	Andorfi István, Antal Virág Anna, Bekes Barnabás, Békési Ábel, Boros Máté, Conrád Márk, Debreczeni Tibor, Fekete András Albert, Fekete Levente, Fiam Regina, Fülöp Sámuel Sihombing, Gál Péter Levente, Györgyfalvai Fanni, Hartmann Alice, Havasi Márton, Hervay Bence, Hisham Mohammed Almalki, Horváth 999 Anikó, Jánosik Áron, Klučka Vivien, Markó Gábor, Morvai Orsolya, Pálfi Fanni, Rusvai Miklós, Schneider Anna, Schrott Márton, Selmi Bálint, Sepsi Csombor Márton, Szabó 314 László, Szoboszlai Szilveszter, Telek Dániel, Tóth Ábel, Vass Bence, Virág Levente.
3 points:	Hamar Dávid, Kertész Balázs, Köpenczei Csanád, Köpenczei Csenge, Lipták Gergő, Marozsák Tádé, Merkl Gergely, Merkl Levente, Nagyváradi Dániel, Osvárt Bence Attila, Solymosi Réka, Sümegi Géza, Viczián Anna, Zeke Norbert.
2 points:	7 students.
1 point:	5 students.
0 point:	3 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, January 2019