Problem P. 5111. (March 2019)

P. 5111. A ping-pong ball was thrown vertically upward. Which takes longer, the upward or the downward motion of the ball? (Consider air drag.)

(3 pont)

Deadline expired on April 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. Ugyanabban a magasságban a lefelé mozgó pingponglabda sebességének abszolút értéke biztosan kisebb, mint amikor – ugyanebben a magasságban – még felfelé mozgott, hiszen a gravitációs helyzeti energiája ugyanakkora, az összes mechanikai energiája pedig – a légellenállás munkája miatt – kisebb (1. ábra). Kisebb sebességgel mozogva a labda egy ugyanakkora (kicsiny) útszakaszt hosszabb idő alatt tesz meg, és ez minden útszakaszra, tehát azok együttesére is igaz, emiatt a lefelé mozgás teljes ideje nagyobb, mint a felfelé mozgásé.

1. ábra

II. megoldás. A felfelé mozgó labda gyorsulásának abszolút értéke (vagyis a lassulása) minden pillanatban nagyobb, mint a lefelé mozgó labdáé, hiszen az első esetben a nehézségi erő és a közegellenállási erő ugyanolyan irányú, a második esetben pedig ellentétes irányúak. Ábrázoljuk a sebesség nagyságát az idő függvényében úgy, hogy az origót a tetőpont elérésének pillanatához igazítjuk, de a felfelé haladó labda mozgását ,,időben visszafelé'' tüntetjük fel (2.  ábra). Ekkor a nagyobb gyorsulású mozgásnál (a felfelé emelkedésnél) a \(\displaystyle v_\text{fel}\) sebesség gyorsabban növekszik, mint a lefelé haladó labda \(\displaystyle v_\text{le}\) sebessége. Mindkét sebesség a tetőpontnál nulla, tehát minden ,,pillanatban'' (ténylegesen a tetőpont eléréséhez viszonyítva ugyanakkora időkülönbségű pillanatokban) \(\displaystyle v_\text{fel}\) nagyobb, mint \(\displaystyle v_\text{le}\), így ugyanazt az utat rövidebb idő alatt teszi meg a labda felfelé mozogva, mint lefelé.

2. ábra

Statistics:

54 students sent a solution.
3 points:	Antal Virág Anna, Boros Máté, Conrád Márk, Duong Phan, Fekete András Albert, Fekete Levente, Forgács Kata, Gál Péter Levente, Girus Kinga, Györgyfalvai Fanni, Hajdú Bence, Hamar Dávid, Heizer Koppány, Hervay Bence, Jánosik Áron, Jánosik Máté, Kárpáti Kristóf Soma, Keltai Dóra, Kertész Balázs, Kovács Gergely Balázs, Köpenczei Csanád, Laposa Hédi, Markó Gábor, Nagy Balázs, Nagyváradi Dániel, Osvárt Bence Attila, Rusvai Miklós, Schneider Anna, Schottner Kristóf Károly, Schrott Márton, Sepsi Csombor Márton, Simon Tamás, Sümegi Géza, Szabó 314 László, Szabó Bálint Csaba , Szoboszlai Szilveszter, Tari Balázs, Telek Dániel, Toronyi András, Varga Vázsony, Vass Bence.
2 points:	Németh Csaba Tibor.
0 point:	12 students.

Problems in Physics of KöMaL, March 2019