A P. 5177. feladat (2019. december) |
P. 5177. Egy függőleges helyzetű, 400 N/m direkciós állandójú húzó-nyomó rugóra 50 dkg-os nehezéket akasztottunk. A nehezéken – a rugó csatlakozása körül – egy 10 dkg-os fémgyűrű nyugszik. A gyűrűt és a nehezéket együtt \(\displaystyle v_0\) kezdősebességgel hirtelen elindítjuk lefelé. Közös mozgásuk során, amikor a két test gyorsulása a legnagyobb, a gyűrű súlya az eredeti érték háromszorosa lesz. Az indítástól számítva mennyi idő elteltével válik súlytalanná a gyűrű?
Közli: Kis Tamás, Heves
(4 pont)
A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A nehezék és a fémgyűrű együttes tömege \(\displaystyle M=\)0,6 kg, tehát a \(\displaystyle D\) rugóállandójú rugóra függesztve
\(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{D}{M}}=\sqrt{\frac{400~ {\rm N}/{\rm m}}{0{,}6~\rm kg}}=25{,}8~\frac{1}{\rm s}\)
körfrekvenciájú harmonikus rezgőmozgást végez.
Ha az \(\displaystyle x\) tengelyt függőlegesen felfelé irányítjuk, akkor a test helyzetét az
\(\displaystyle x(t)=-A\sin(\omega t)\)
függvény adja meg. (Az \(\displaystyle A\) amplitúdó nagyságát a \(\displaystyle v_0\) kezdősebesség határozza meg.) A gyorsulás:
\(\displaystyle a(t)=A\omega^2\sin(\omega t).\)
Az \(\displaystyle m\) tömegű fémgyűrű mozgásegyenlete:
\(\displaystyle ma=-mg+N,\)
ahol \(\displaystyle N\) a nehezék által a gyűrűre kifejtett, függőlegesen felfelé irányuló erő, vagyis a nehezék pillanatnyi súlya. Amikor \(\displaystyle N=3mg\), a mozgásegyenlet szerint \(\displaystyle a_\text{max}=2g\). Ez a nehezék legmélyebb helyzeténél, \(\displaystyle x=-A\)-nál következik be. Ekkor
\(\displaystyle a= A\omega^2=2g.\)
A gyűrű akkor válik súlytalanná, amikor \(\displaystyle N=0\), vagyis \(\displaystyle a=-g\). Felírhatjuk tehát, hogy
\(\displaystyle A\sin(\omega t)= 2g\sin(\omega t)=-g, \)
vagyis
\(\displaystyle \sin(\omega t)=-\frac{1}{2}.\)
Ez (a mozgás során először) az indítástól számított
\(\displaystyle t=\frac{7\pi}{6\omega}=0{,}14~\rm s\)
idő elteltével következik be, és ebben a pillanatban a rugó feszítetlen.
A további mozgás során (valamennyi ideig) az \(\displaystyle m\) tömegű fémgyűrű \(\displaystyle -g\) gyorsulással szabadon esik, az \(\displaystyle M\) tömegű nehezék \(\displaystyle \omega'>\omega\) körfrekvenciájú rezgőmozgást végez, a rugó pedig összenyomódik.
Statisztika:
26 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Fekete Levente, Horváth 999 Anikó, Jánosik Áron, Kozák 023 Áron, Ludányi Levente, Nguyễn Đức Anh Quân, Répási Tamás, Sas 202 Mór, Tóth Ábel, Varga Vázsony. 3 pontot kapott: Békési Ábel, Endrész Balázs, Kozaróczy Csaba, Lê Minh Phúc, Sepsi Csombor Márton, Takács Dóra, Tanner Norman, Toronyi András. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2019. decemberi fizika feladatai