Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2022. februári matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2022. március 10-én LEJÁRT.


K. 719. Kiszínezzük a számegyenesen az egész számokat jelző pontok mindegyikét kék vagy piros színnel. Igaz-e bármilyen, a feltételnek megfelelő színezés esetén, hogy

\(\displaystyle a)\) biztosan lesz két azonos színű pont, melyek távolsága 3;

\(\displaystyle b)\) biztosan lesz két azonos színű pont, melyek távolsága 3 vagy 4?

(5 pont)

megoldás, statisztika


K. 720. Vágjunk fel három egyenlő területű részre egy szabályos hatszöget az egyik csúcsán átmenő két egyenessel.

(5 pont)

megoldás, statisztika


K. 721. Sanyi egész cm hosszúságú pálcikákat készített, méghozzá olyanokat, hogy közülük semelyik háromból nem lehet háromszöget összeállítani. Tudjuk, hogy Sanyi 1 és 10 hosszúságú pálcikát is készített, a leghosszabb pálcika pedig 100 cm hosszú. Maximálisan hány pálcikát készíthetett Sanyi?

(5 pont)

megoldás, statisztika


K/C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2022. március 10-én LEJÁRT.


K/C. 722. Két háromjegyű szám átlaga pont annyi, mintha a két szám közé tizedesvesszőt téve egymás mellé írjuk azokat. Mi lehet a két szám?

(5 pont)

megoldás, statisztika


K/C. 723. A tokiói olimpiára a Magyar Kézilabda Szövetség 17 női kézilabdázót nevezett: 3 kapust, 1 jobbszélsőt, 4 jobbátlövőt, 2 irányítót, 3 beállót, 2 bal­átlövőt és 2 balszélsőt. Hányféleképpen állhatnak fel a himnuszhoz, ha az ugyanolyan posztokon szereplő játékosok mindenképpen egymás mellett állnak? (A himnusz alatt a játékosok egymás mellett, egy sorban állnak.)

Javasolta: Róka Bálint (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2022. március 10-én LEJÁRT.


C. 1704. Mely \(\displaystyle a\) valós számok esetén lesz a \(\displaystyle [0;2]\) intervallumon értelmezett

\(\displaystyle f(x)=4x^2-4ax+a^2-2a+2 \)

függvény minimumhelyén a függvény értéke 3?

(MC&IC)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1705. Egy deltoidról tudjuk, hogy húrnégyszög, oldalainak hossza 42 és 56 hosszúságegység. Milyen messze van egymástól a beírt és a köréírt körének középpontja?

Javasolta: Siposs András (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1706. Bizonyítsuk be, hogy 2022 darab pozitív egész szám között biztosan van 2 olyan, amelyek különbsége vagy összege osztható 4040-nel.

Javasolta: Sáfár Lajos (Ráckeve)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1707. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben a szokásos jelölésekkel \(\displaystyle b=6\), \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle {\gamma=120^{\circ}}\). Határozzuk meg a \(\displaystyle \gamma\) szög \(\displaystyle CD\) belső szögfelezőjének pontos hosszát.

(MC&IC)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1708. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számpárok halmazán:

\(\displaystyle \log_2^2(x+y)+\log_2^2(xy)+1=2\log_2(x+y). \)

(MC&IC)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2022. március 10-én LEJÁRT.


B. 5222. Legyenek az \(\displaystyle A\) halmaz elemei azok a páros pozitív egészek, amelyeket 2-vel osztva a számjegyek összege 2-vel csökken, a \(\displaystyle B\) halmaz elemei pedig azok a pozitív egészek, melyeket 5-tel szorozva a számjegyek összege 5-tel nő. Adjuk meg az \(\displaystyle A\cap B\) és a \(\displaystyle B\setminus A\) halmazok elemszámát.

Javasolta: Káspári Tamás (Paks)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 5223. Definiáljuk az \(\displaystyle \{a_n\}\) sorozatot a következőképpen:

\(\displaystyle a_1=-3,\qquad a_{n+1}=4+a_n+4\sqrt{a_n+4}\,. \)

Határozzuk meg \(\displaystyle a_{2022}\) értékét.

Javasolta: Káspári Tamás (Paks)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 5224. Az \(\displaystyle ABCD\) egységnégyzet \(\displaystyle BC\) oldalán úgy vesszük fel a \(\displaystyle P\) pontot, továbbá a \(\displaystyle CD\) oldalán a \(\displaystyle Q\) pontot, hogy \(\displaystyle PAQ\sphericalangle=45^{\circ}\). A \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontok melyik helyzetében lesz \(\displaystyle BP+PQ+QD\) minimális?

Javasolta: Szoldatics József (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5225. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle A\)-val szemközti oldala \(\displaystyle a\), beírt körének középpontja \(\displaystyle I\), sugara \(\displaystyle \varrho\), a körülírt kör sugara \(\displaystyle R\). Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle \overline{AI}=R\), akkor az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe \(\displaystyle \frac{a\cdot R}{4}+\varrho \cdot a\).

Javasolta: Kocsis Szilveszter (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5226. Egy háromszög mindhárom oldalának hossza legfeljebb 2 egység. Minden csúcspárt összekötünk egy-egy olyan körívvel, amely egy-egy egységsugarú körnek a félkörnél nem hosszabb íve. Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle a'+b'>2c'/3, \)

ahol \(\displaystyle a'\), \(\displaystyle b'\), \(\displaystyle c'\) a körívek hosszát jelöli.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5227. Adjunk példát olyan \(\displaystyle k\) pozitív egészre és legalább \(\displaystyle k\) csúcsú \(\displaystyle F\) véges fagráfra, amelyben minden csúcs legfeljebb harmadfokú, és \(\displaystyle F\)-nek tetszőleges \(\displaystyle k\) csúcsú összefüggő részgráfját elhagyva a megmaradó gráf legalább \(\displaystyle 2022\) komponensre esik szét.

(Monthly feladat nyomán)

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 5228. Egy parabola az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\) oldalát a \(\displaystyle C_1\) és \(\displaystyle C_2\), \(\displaystyle BC\) oldalát az \(\displaystyle A_1\) és \(\displaystyle A_2\), míg \(\displaystyle CA\) oldalát a \(\displaystyle B_1\) és \(\displaystyle B_2\) belső pontokban metszi. Igazoljuk, hogy ha \(\displaystyle AC_1 = C_2B\) és \(\displaystyle BA_1 = A_2C\), akkor \(\displaystyle CB_1=B_2A\).

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5229. Az \(\displaystyle a\ne 0\) valós számra és az \(\displaystyle f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) függvényre

\(\displaystyle f\big(x+f(y)\big) = f(x) + f(y) + ay \)

teljesül minden \(\displaystyle x,y\in \mathbb{R}\) esetén. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle f\) additív, vagyis \(\displaystyle f(x+y) = f(x) + f(y)\) minden \(\displaystyle x,y\in \mathbb{R}\) esetén.

Javasolta: George Stoica (Saint John, New Brunswick, Kanada)

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2022. március 10-én LEJÁRT.


A. 818. Határozzuk meg mindazokat az \(\displaystyle m\), \(\displaystyle n\) pozitív egész számokból álló párokat, amelyekre \(\displaystyle 9^{|m-n|}+3^{|m-n|}+1\) osztható \(\displaystyle m\)-mel és \(\displaystyle n\)-nel is.

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika


A. 819. Legyen \(\displaystyle G\) egy tetszőlegesen választott véges egyszerű gráf. A gráf csúcsaira olyan módon írunk nemnegatív egész számokat, hogy minden csúcson az a szám szerepeljen, ahány olyan szomszédja van az adott csúcsnak, melyre páros számot írtunk. Bizonyítsuk be, hogy az ilyen kitöltések száma kettőhatvány.

(7 pont)

megoldás, statisztika


A. 820. Legyen \(\displaystyle ABC\) egy tetszőleges háromszög. A háromszög \(\displaystyle a\) oldalához hozzáírt kör az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle CA\) egyeneseket rendre a \(\displaystyle C_a\), \(\displaystyle A_a\) és \(\displaystyle B_a\) pontokban érinti. Hasonlóan, a háromszög \(\displaystyle b\) oldalához hozzáírt kör az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle CA\) egyeneseket rendre a \(\displaystyle C_b\), \(\displaystyle A_b\) és \(\displaystyle B_b\) pontokban érinti. Végül a háromszög \(\displaystyle c\) oldalához hozzáírt kör az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle CA\) egyeneseket rendre a \(\displaystyle C_c\), \(\displaystyle A_c\) és \(\displaystyle B_c\) pontokban érinti. Legyen \(\displaystyle A'\) az \(\displaystyle A_bC_b\) és \(\displaystyle A_cB_c\) egyenesek metszéspontja. Hasonlóan, legyen \(\displaystyle B'\) a \(\displaystyle B_aC_a\) és \(\displaystyle A_cB_c\) egyenesek, \(\displaystyle C'\) pedig az \(\displaystyle A_bC_b\) és \(\displaystyle B_aC_a\) egyenesek metszéspontja. Végül legyen \(\displaystyle T_a\), \(\displaystyle T_b\) és \(\displaystyle T_c\) a beírt kör érintési pontja rendre az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) oldalon.

\(\displaystyle a)\) Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle A'A_a\), \(\displaystyle B'B_b\) és \(\displaystyle C'C_c\) egyenesek egy ponton mennek át.

\(\displaystyle b)\) Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle A'T_a\), \(\displaystyle B'T_b\) és \(\displaystyle C'T_c\) egyenesek is egy ponton mennek át, és ez a pont rajta van az \(\displaystyle ABC\) háromszög magasságpontja és beírt körének középpontja által alkotott egyenesen.

Javasolta: Csaplár Viktor (Bátorkeszi) és Hegedűs Dániel (Gyöngyös)

(7 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)