Fórum: Trigonometria

A becsület olyan dolog, amit az életben csak egyszer lehet eljátszani.

Igazat adok, és elnézést kérek. Az eredmény volt hibátlan, és az enyimtől merőben eltérő (ahogy írtam), aminek tegnap éjszaka nagyon megörültem, elhamarkodottan, de most meg kell, hogy védje az IGAZAZÁT(!) az Úr, én nem hoztam át ide, csak a feladatot. Viszont az átküldött levezetést látva nagy-nagy kétségeim támadtak, hogy honnan származik, de ahhoz én is időt kértem... Azt is jeleztem számára, talán jobb lenne, ha itt folyna le az a védés (és nélkülem!), megkértem, hogy regisztráljon! Valamilyen folytatást még írok majd ide, nem marad ez a dolog szó nélkül így, és most fontos igazán számomra, hogy ez csak egy fórum, és nem egy verseny, belátom, jól is van ez így. Még egyszer elnézést, és várjuk a védést, amiről, ha az azt közlő nem teszi meg, én írom le a gondolatom, mert a korai dícséretet is én adtam itt: vállalom, hogy hibáztam. Annyit kérek, adjunk időt az IGAZSÁG(!) kiderülésének, mert valahonnan csak látszott egy - az enyimtől eltérő - helyes eredmény, de ez nem biztos, hogy az önálló tudást rejt, ezt minden kétséget kizáróan igazolni kell, és feltétlenül azt mondom, hogy nem előttem, hanem az itt lévő közösség előtt.

esetleg közzé lehetne tenni itt is a megoldást???? megköszönném.

Örömmel láttam, hogy a tegnapi napon a Matematika mindenkinek facebook-csoportban érkezett egy hibátlan megoldás erre a feladatomra, méghozzá az általam elképzelt, és feltételeimnek eleget tevő, igen egyszerű trigonometrikus formátumban. Nagyon ügyes volt: Deli Ádám, a Debreceni Fazekas Mihály Gimnázium 14 éves tanulója, ezúton is gratulál neki ezen a fórumon is a feladat kiötlője, Borsós Pál, az az jómagam! ;-) (Továbbá megjegyzem, hogy egyébként az általa leírtnál létezik egy picivel még egyszerűbb alak, tehát akit érdekel még, keresheti.)

Nem bírtam ki sajnos, hogy ne kezdjem el mielőbb a válaszokat, és két megjegyzést meg kell tegyek:

1. A "szép" matematikailag nem definiált fogalom, maradjunk a feladatomban szereplő eredeti megfogalmazásnál: Kérdésem, hogy az ott látható trigonometrikus kifejezés egyszerűbb alakba írható-e az arcus-függvény kiküszöbölésével, vagy sem...? Erre keressük a választ!

2. Előre elnézést kérek, ha most pontatlan és körülményes leszek a megfogalmazásomban: A [77] - [78] -ban szereplő állításodban van a "kutya elásva", mert a kérdés "trükkös", és LEHET, HOGY MATEMATIKAILAG HELYTELEN IS (vállalom, ezért ez egy fórum, és az meg nem egy beküldött versenyfeladat!), de nevezzük akkor a kérdést "didaktikainak/nyelvinek", ugyanis olyan, a megadottnál egyszerűbb trigonometrikus alakot keresek, amiben az arkusz-függvény nincs leírva... Mutatok erre egy nagyon egyszerű példát: A \(\displaystyle 8x^{3}-6x+1\) egyenlet egyik gyöke jól ismert: ez \(\displaystyle \sin(10°)\) . Erről tudjuk, hogy nem szerkeszthető euklidészi úton, mégis megjelent olyan alakban, hogy az arkusz függvény nem szerepel benne (leírva!), csak egy olyan trigonometrikus forma, ami "szakközepes ismeretekkel" értelmezhető, egy bizonyos mélységig (erre külön felhívtam a figyelmet utólag, ezen kérdésem ötletét adó szakközépiskolai - "Sárga"-könyvemre, mint forrásra - utalással!). Az igaz, hogyha mélyebbre megyünk, akkor már elkerülhetetlen a komplex szám is, és az arkusz-függvény bevezetése is, de az is igaz, hogy mégis látjuk az egyik gyök egy egyszerű, rövid, és tömör formáját, amiben sem gyökjel, sem komplex szám, sem arkusz-függvény nem szerepel: \(\displaystyle \sin(10°)\) . Én egy ilyen alakot keresek annál a feladatnál is, amit kitettem, bár elismerem, itt most ismerethiányok miatt lehet, hogy FÉLREÉRTHETŐ VOLT a kérdésem, de később jeleztem, hogy nem szerkeszthető alakot keresek. Az viszont, hogy az általad leírt formánál (lásd azt a hozzászólásod, amire válaszolok!) a kérdezett gyök jóval egyszerűbb alakban is felírható (ha úgy tetszik: egyszerűsíthető!), ez szerintem ugyanilyen létjogosultságú tény. De itt már vita képes vagyok, minden kritikát elfogadok.

Nagyon köszönöm, minden pillanatot, és a hozzászólásokat különösen, a matematikában nálam a rossz hozzászólás néha értékesebb, mint a jó, ha vállaljuk! Holnap át is nézem és reagálok is rájuk. És ha még bármi eszébe jut feltétlenül jelezze! Még egyszer köszönöm!

Írok valami bizonyításfélét, hogy a köbgyökvonás miért nem végezhető el szépen. És akkor talán válaszoltam valamennyire a problémára. Amúgy szép és érdekes volt a kérdés felvetése.

Legyen \(\displaystyle 148+4*\sqrt{-3}=(a+b*\sqrt{-3})^3\), illetve \(\displaystyle 148-4*\sqrt{-3}=(a-b*\sqrt{-3})^3\), ahol \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) racionális számok. Ekkor a zárójel-felbontásokat elvégezve, a következő egyenletek adódnak:

#1: \(\displaystyle a^3-9*a*b^2=148\)

#2: \(\displaystyle 3*b*(a^2-b^2)=4\)

\(\displaystyle 148+4*\sqrt{-3}=(a+b*\sqrt{-3})^3\)

Mindkét oldal normáját véve:

\(\displaystyle N(148+4*\sqrt{-3})=N((a+b*\sqrt{-3})^3)\)

elvégezve a számításokat:

\(\displaystyle 28^3=(a^2+3*b^2)^3\)

köbgyökvonás:

#3: \(\displaystyle 28=a^2+3*b^2\)

rendezés:

#3: \(\displaystyle a^2=28-3*b^2\)

vissza a #2 egyenlethez:

#2: \(\displaystyle 3*b*(a^2-b^2)=4\)

helyettesítés: \(\displaystyle a^2=28-3*b^2\)

\(\displaystyle 3*b*(28-3*b^2-b^2)=4\)

rendezés:

\(\displaystyle 3*b^3-21*b+1\)=0

Ha \(\displaystyle b\) racionális, akkor \(\displaystyle b=+1\), \(\displaystyle b=-1\), \(\displaystyle b=+1/3\), \(\displaystyle b=-1/3\) lehet csak. Egyik esetben sincs olyan racionális \(\displaystyle a\), amely mindhárom egyenletnek megfelelne.

javítom magam, az \(\displaystyle x^3-84x-296=0\) egyenlet diszkriminánsa:

\(\displaystyle D=\bigg(\frac{q}{2}\bigg)^2+\bigg(\frac{p}{3}\bigg)^3=-48\)

Nézzük az \(\displaystyle x^3-84x-296=0\) egyenlet megoldását.

\(\displaystyle p=-84\)

\(\displaystyle q=-296\)

\(\displaystyle D=\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2+\bigg(\frac{q}{3}\bigg)^3=-48\)

Ekkor az egyik gyök:

\(\displaystyle x=\root 3\of {-\frac{q}{2}+\sqrt{D}}+\root 3\of {-\frac{q}{2}-\sqrt{D}}=\root 3\of {148+4*\sqrt{-3}}+\root 3\of {148-4*\sqrt{-3}}\)

A másik két gyök:

\(\displaystyle x=\bigg(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}\bigg)*\root 3\of {-\frac{q}{2}+\sqrt{D}}+\bigg(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{-3}}{2}\bigg)*\root 3\of {-\frac{q}{2}-\sqrt{D}}=\bigg(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}\bigg)*\root 3\of {148+4*\sqrt{-3}}+\bigg(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{-3}}{2}\bigg)*\root 3\of {148-4*\sqrt{-3}}\)

\(\displaystyle x=\bigg(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{-3}}{2}\bigg)*\root 3\of {-\frac{q}{2}+\sqrt{D}}+\bigg(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}\bigg)*\root 3\of {-\frac{q}{2}-\sqrt{D}}=\bigg(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{-3}}{2}\bigg)*\root 3\of {148+4*\sqrt{-3}}+\bigg(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}\bigg)*\root 3\of {148-4*\sqrt{-3}}\)

Az egész csak azon múlik, hogy az \(\displaystyle 148+4*\sqrt{-3}\), illetve a \(\displaystyle 148+4*\sqrt{-3}\) kifejezések felírhatóak-e \(\displaystyle 148+4*\sqrt{-3}=(a+b*\sqrt{-3})^3\), illetve a \(\displaystyle 148-4*\sqrt{-3}=(a-b*\sqrt{-3})^3\) alakban, ahol \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) racionális (egész) számok. Ha ezt meg tudnánk tenni, akkor az egyenlet mindhárom gyökénél a köbgyökvonást szépen el tudnánk végezni, és akkor az egyenlet mindhárom gyöke szép alakban is megadható. Most géppel programot írtam, elég sok racionális számot próbáltam \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) értékére, és nem találtam megfelelő \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) racionális (egész) számokat. Nagyon nagy eséllyel nem tudjuk ezeket a köbgyökvonásokat szépen elvégezni.

Megengedett itt egy kis (témábavágó) humor? Az a félelmetes, hogy úgy gyök, hogy gyökjelet még hírből sem látott... ;) Na jó, most viszont már... Si tacuisses, philosophus mansisses!

Rendben. Elfogadom. Igazat is adok. Nem szerkeszthető. Ez tény. De, ha "egyszerű és szép", vajon megtalálható?

Talán szabályos 37 oldalú sokszöget aarsz szerkeszteni, vagy 37-ik egységgyököket akarod meghatározni? csak kérdezem.

bocsi, végig \(\displaystyle cos(1/3*arc tg(\alpha))\) kifejezésre gondoltam, és az "arc tg"-től való szabadulásra.

Ha ki tudnánk kerülni a \(\displaystyle cos(1/3*arc cos(\alpha))\) kifejezésben az "arc cos"-t, akkor tetszőleges \(\displaystyle \alpha\) szöget lehetne euklideszi szerkesztéssel harmadolni. De tudjuk, hogy ezt nem lehet.

Amit kérdezel, az tulajdonképpen egy algebrai szám. Az általam megadott egyenletben szereplő polinom ennek az algebrai számnak a minimálpolinomja. Legtöbbször a minimálpolinommal van definiálva az algebrai szám, ez a minimálpolinom megmutatja, hogy az algebrai számmal hogyan kell számolni.

Talán segítene, hogy miért pont ezzel a kifejezéssel foglalkozol. Ha tudom ennek okát, akkor ez is sokat segíthet.

Tegnap este 10kor kicsit álmoska voltam.... mindegy, leírtam, hogy mire gondolok, hátha ezzel is segítek. Szerintem nem tudsz szabadulni az "arc cos"-tól. Mostanában néztem a szabályos 7szög, 13szög, 19szög szerkesztését, ott is pont ilyen jellegű kifejezések vannak. Van a \(\displaystyle cos(\alpha)=4*cos^3(\alpha/3)-3*cos(\alpha/3)\) azonosság, hát ha ezt használom, akkor is kell harmadfokú egyenlet.

Annyiban egyébként jó a gondolat, hogy nyilván a látható harmadfokú egyenlet megoldása a keresett irracionális szám (segítségével felírt összefüggés), de hát amilyet keresünk konkrétan számok, olyanok anno a mi "Sárga Keményfedelesünkben (Matematikai Feladatgyűjtemény I., Nemzeti Tankönyvkiadó, 1997, 11. kiadás)" nem is a komplexeknél szerepeltek( II/9. fejezet 89-94 o.), hanem az Irracionális Számok fejezetében (II/7 fejezet 82-86 o.), így értettem, hogy tisztán "régi szakközepes" keretek között maradunk, a valósokon belül... ;)

Bocsánat, de ebből következtethetünk akkor valamire, hogy "Tehát itt is hasonló harmadfokú egyenletet kellene megoldani.", vagy már látható ebből a megoldás, csak lehet, hogy én még nem vettem észre?

Rajzoljunk egy olyan derékszögű háromszöget, amelynek egyik hegyesszöge x, az x-szel szemközti befogó gyök3, a másik befogó 37. Ilyenkor az átfogó 14*(gyök7). Kiemelve, majd az egyik addíciós tételt alkalmazva, azt kaptam, hogy -4*(gyök7)*sin((pi/6)+(x/3)).

sin(pi/2+x)=cosx=3*(sinA)-4*(sinA)*(sinA)*(sinA)=37/((gyök7)*14), ahol A=(pi/6)+(x/3)

Használtam a sin3B=3*(sinB)-4*(sinB)*(sinB)*(sinB) összefüggést is. Tehát itt is hasonló harmadfokú egyenletet kellene megoldani.

Bocsánatot kérek, lemaradt egy negatív előjel az enyimről, a tied van rendben, nem Te írtad el, hanem én. Még egyszer elnézést, valóban a második gyököd felel meg a kérdezettnek, de attól még az a kérdésem szempontjából tényleg kitérő, nem az elvárt válasz.

...és ha jól látom elírtad, és egyébként is a harmadik(legalsó) gyököd esik egybe az általam kérttel, de ez a kérdésem szempontjából most teljesen irreleváns ...viszont további szigorításként megemlítem akkor már, hogy olyan alakot tekintek egyszerűbbnek, ami a komplex számokat sem vezeti be, tehát úgy rövid, hogy közben valósokon belül marad(...nem Euler, meg ilyesmi, tisztán "szakközepes" forma, csak szebb, tömörebb, kompaktabb... ;-) Szép estét Mindenkinek!

Nem szeretnék butaságot kérdezni, de abban, amit megadtál, hol van kiküszöbölve az arcus, ami a kitűzésben szerepelt feltételként?

Ezt a megoldást, amit leírtál, megadja az összes megoldóképlet, kb.

A feladatot kérlek olvasd el...

Ez a szám gyöke az \(\displaystyle x^3-84x-296=0\) egyenletnek. Az egyenlet gyökei:

\(\displaystyle 4*\sqrt7*cos(\frac{1}{3}*arctg(\frac{\sqrt3}{37}))\)

\(\displaystyle 4*\sqrt7*cos(\frac{1}{3}*arctg(\frac{\sqrt3}{37})+\frac{2\pi}{3})\)

\(\displaystyle 4*\sqrt7*cos(\frac{1}{3}*arctg(\frac{\sqrt3}{37})-\frac{2\pi}{3})\)

A második gyök az általad megadott szám.

(Amelyik hozzászólásomra válaszolok, azon a képen anno vétettem egy hibát, ha jól látom, a szumma alsó határa hibásan 1-től indul, de ahhoz, hogy az alsó azonosságom érvényes legyen, a szummázást 0-tól kell kezdeni, különben a konstans tag hiányozna... hát... ahogy az ember öregszik, a fiatalabb kori tévedéseire is jobban rálát... de most nem humorizálni jöttem, hanem... ;) )

Volna itt egy - remélhetőleg a korábbiaknál jóval egyszerűbb - felvetésem, hátha tud valaki segíteni, előre is köszönöm mindenkinek! :)