Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1182] Lóczi Lajos2006-03-09 10:50:41

Én is így gondolom.

Előzmény: [1180] nadorp, 2006-03-09 00:11:07
[1181] Fálesz Mihály2006-03-09 10:15:52

A (c) feladatban nem nehéz felírni a primitív függvényt.

Előzmény: [1169] Lóczi Lajos, 2006-03-07 00:25:21
[1180] nadorp2006-03-09 00:11:07

Csatlakozom Jonashoz. Ha egy függvény Lebesgue-integrálható, akkor ha jól tudom, az abszolútértéke is az. Ezért, ha k>0 egész és a<\frac\pi2 valós szám, akkor

\int_{\frac1{k\pi}}^{\frac1{(k+1)\pi}}\left|\frac1xsin\frac1x\right|dx=\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\left|\frac{sin~x}x\right|dx>\int_{k\pi+a}^{(k+1)\pi-a}\left|\frac{sin~x}x\right|dx>(\pi-2a)\frac{|sin~a|}{(k+1)\pi-a}.

Ebből már "látszik", hogy a Lebesgue szerinti integrál nem létezhet, mert a harmonikus sor divergens. Visszatérve még az eredeti példára, az \int_0^1\frac1{x^\alpha}sin\frac1xdx Riemann improprius integrál - ha el nem számoltam - pontosan \alpha<2 esetén létezik

Előzmény: [1178] Lóczi Lajos, 2006-03-08 21:20:15
[1179] jonas2006-03-08 21:46:15

Gondolom, akkor a (b) sem létezik.

Előzmény: [1178] Lóczi Lajos, 2006-03-08 21:20:15
[1178] Lóczi Lajos2006-03-08 21:20:15

215. feladat. A kérdés ugyanaz, mint a 214-esben, csak az integrálokat ne improprius Riemann, hanem Lebesgue értelemben értsük.

[1177] lgdt2006-03-08 20:32:35

Előzmény: [1171] ágica, 2006-03-07 21:49:49
[1176] Lóczi Lajos2006-03-08 18:36:33

Persze, hogy jó, hiszen az abszolút konvergencia az improprius integrálok esetén is maga után vonja a konvergenciát (Cauchy-kritérium).

Előzmény: [1171] ágica, 2006-03-07 21:49:49
[1175] nadorp2006-03-08 16:17:05

b) Az y=\frac1x helyettesítéssel az integrál a következő alakú lesz

\int_1^{\infty}\frac{sin~y}ydy. Nyilván elég az \int_{2\pi}^{\infty}\frac{sin~y}ydy integrállal foglalkozni. Ezt a következőképpen érdemes felírni:

\sum_{k=1}^{\infty}\int_{2k\pi}^{(2k+2)\pi}\frac{sin~y}ydy=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}\frac{sin~y}ydy+\int_{(2k+1)\pi}^{(2k+2)\pi}\frac{sin~y}ydy\right)=

=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}\frac{sin~y}ydy-\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}\frac{sin~y}{y+\pi}dy\right).

Innen már sejthető, hogy a fenti összeg becsülhető a \sum\frac1{n^2} sorral, ami konvergens

Előzmény: [1169] Lóczi Lajos, 2006-03-07 00:25:21
[1174] hobbymatekos2006-03-08 14:07:19

Vagyis én tévedtem el.

Előzmény: [1173] hobbymatekos, 2006-03-08 11:57:01
[1173] hobbymatekos2006-03-08 11:57:01

Rendben. Akkor egyetlen mondattal megjavitom azt a bizonyitást. Bizonyitás: kontradikció .... Qed A pontok közötti rész jó.

Előzmény: [1170] jenei.attila, 2006-03-07 11:15:33
[1172] nadorp2006-03-08 08:43:34

Szerintem jó ( bár ez nem jelent semmit). Sajnos b) és c) esetekre nem alkalmazható.

Előzmény: [1171] ágica, 2006-03-07 21:49:49
[1171] ágica2006-03-07 21:49:49

a)-ra egy ötlet, de nem tudom, hogy jó-e: mivel

\big|\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\frac{1}{x}\big|\le\frac{1}{\sqrt{x}},

és

\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2,

ezért az eredeti integrál is véges.

Előzmény: [1169] Lóczi Lajos, 2006-03-07 00:25:21
[1170] jenei.attila2006-03-07 11:15:33

Tényleg túl bonyolítod (vagy nem érted) a dolgot. Attól, hogy az együtthatók és p, q lehetnek negatívak is,ugyanúgy érvényesek Iván88 meggondolásai (van értelme negatív egészek paritásáról beszélni). Igen, negatív számok páratlan hatványa negatív, de akkor mi van? Össze tudunk adni pozitív és negatív számokat. A középső + jellel végképp nem értem mi bajod. Mennyiben más, ha a páratlan számot 2b-1 alakban írjuk fel, ugyanúgy 2b+1 alakban is megfelelő. Ne haragudj, de szerintem az ilyen hozzászólásod céltalan kötekedésnek minősíthető.

Előzmény: [1168] hobbymatekos, 2006-03-07 00:02:07
[1169] Lóczi Lajos2006-03-07 00:25:21

214. feladat. Léteznek-e, és ha igen, végesek-e az alábbi integrálok?

a.) \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \sin{\frac{1}{x}} dx

b.) \int_0^1 \frac{1}{x} \sin{\frac{1}{x}} dx

c.) \int_0^1 \frac{1}{x^2} \sin{\frac{1}{x}} dx

[1168] hobbymatekos2006-03-07 00:02:07

Csak arra gondoltam, még az nincs kihasználva, hogy p, q , és az együtthatók egész számok, azaz pozitiv és negativ számokat kellene összegezni, másrészt a negativ számok páratlan hatványai negativak, továbbá a két szumma közötti + jel az csupán a konstrukció következménye, hiszen (2b-1) alaku együtthatók is páratlan számok.

Előzmény: [1167] jenei.attila, 2006-03-05 15:58:07
[1167] jenei.attila2006-03-05 15:58:07

Nem értem mi bajod Ivan88 bizonyításával, szerintem teljesen jó. Nem bonyolítod kicsit túl a dolgokat?

Előzmény: [1166] hobbymatekos, 2006-03-04 12:40:13
[1166] hobbymatekos2006-03-04 12:40:13

Szia.Szerintem: az indirekt feltevésed az volt p/q racionális és p,q relativ primek. Tehát azt kell megmutatni, hogy p/q komplex, irracionális vagy egész esetben (nem relativ primek) teljesülhet az utolsó (hibásan felirt) összeg.

Előzmény: [1147] Iván88, 2005-12-31 23:50:08
[1164] holusanyi2006-03-03 00:23:30

Lenne egy feladat: elég érdekes szerintem, főleg mert nem tudtam megcsinálni! :) Az ötleteket e-mailben szivesen várom! 1 --> 4 --> 7 --> 9 --> 23 --> 47 --> 55 Milyen művelete(ke)t jelölnek a nyilak? Mindig ugyanaz! :)

[1163] jonas2006-03-02 21:38:47

Ez tetszik.

Előzmény: [1162] HoA, 2006-03-02 16:34:04
[1162] HoA2006-03-02 16:34:04

Jelszó: Kalinyingrád?

Előzmény: [1161] lorantfy, 2006-03-01 20:11:41
[1161] lorantfy2006-03-01 20:11:41

Már másfél hónapja nem volt itt hozzászólás. Beírok egy példát, hátha érdekes lesz, azoknak akik nem ismerik:

213. feladat: A huszonhetedik dinasztia idején, amikor a repülőszőnyeg általános közlekedési eszköz volt, 7 repülőszőnyeg útvonal kötötte össze a a fővárost a birodalom többi városával. Az összes többi városból pontosan 4 repülőútvonal indult, kivéve a távoli Mesziút városát, ahonnan csak egy út indult. Mutassuk meg, hogy Messziút városából eljuthatunk a fővárosból repülőszőnyegen, esetleg más városokat érintve.

[1160] xviktor2006-01-13 20:50:28

Hali!

Nem olvastam el rendesen, azt hittem egesz egyutthatosrol van szo, amit irtam arra igaz. Masreszt a feladat szovege szerint van racionalis megoldas. Ha letezik, az csak a \pm1 lehet.

Udv: Vik

Előzmény: [1158] nadorp, 2006-01-13 19:33:18
[1159] Iván882006-01-13 20:47:37

Ez a polinom nem szimmetrikus, egyébként a többivel egyetértek.

Előzmény: [1158] nadorp, 2006-01-13 19:33:18
[1158] nadorp2006-01-13 19:33:18

Egész együtthatósra valóban igaz, hogy ha van racionális gyök, akkor az 1 vagy -1 lehet. De a szimmetriával és azzal, hogy a -1 mindenképpen zéróhely, már baj van.

p(x)=x5+3x4+10x3-7x2-6x-1

p(1)=0, p(-1)=-10

[1157] Lóczi Lajos2006-01-13 18:55:41

Nem pongyolán, csak többértelműen, pont azért írtam ezt :) Az együtthatók racionális volta is burkolt feltevés?

Előzmény: [1154] Iván88, 2006-01-13 14:26:13

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]