Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1385] Cckek2006-09-28 18:47:44

Nos, a következő probléma érdekel: milyen feltételeknek kell eleget tegyen egy n-edrendű, valós elemű négyzetes A mátrix, hogy létezzen olyan X mátrix melynek a négyzete A. n=2 esetben letárgyaltam,és elég érdekes feltételeket kaptam. Érdekel, hogy foglalkozott-e már valaki ezzzel a témával, és mikor számítható ki egy mátrix n-edik 'gyöke'? Köszi

[1384] epsilon2006-09-24 22:28:24

Az [1369] és az utánna leírtakra visszatérve, érdekes, hogy a következő "esztétikus" dupla egyenlőtlenség "gyengébb" az összes felsoroltnál (kivéve a Wallisnál leírtat), és ez sem bizonyítható indukcióval, csak elemi "trükkel":

[1383] Lóczi Lajos2006-09-24 21:49:55

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Gamma/29/

Néhány egyenlőtlenség az illető függvényről.

Előzmény: [1382] Lóczi Lajos, 2006-09-24 21:37:48
[1382] Lóczi Lajos2006-09-24 21:37:48

Természetesen minden állítás analogonja igaz a gamma-függvényre is.

Előzmény: [1381] Cckek, 2006-09-24 21:30:49
[1381] Cckek2006-09-24 21:30:49

A kérdés az, hogy vajon csak természetes számokra igaz? Ugyanis

(2n-1)!!=\frac{(2n)!}{2^n \cdot n!},

tehát írható, hogy:

\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=\frac{(2n)!}{4^n\cdot n!^2}

Euler gamma függvényét használva feltehetjük a következő kérdést:

\frac{\Gamma(2x+1)}{4^x \cdot [\Gamma(x+1)]^2}\le \frac{1}{\sqrt{3x}}, { \forall x\ge 1??}

Előzmény: [1379] Lóczi Lajos, 2006-09-24 20:49:27
[1380] Cckek2006-09-24 20:49:51

Bocs. Az előzmény [1369] Lóczi Lajos

Előzmény: [1378] Cckek, 2006-09-24 20:39:23
[1379] Lóczi Lajos2006-09-24 20:49:27

Direkt bizonyítást nem tudok rá, csak a vázolt gondolatmenetet.

Előzmény: [1377] ágica, 2006-09-24 20:35:34
[1378] Cckek2006-09-24 20:39:23

Mindenesetre a példát érdemes volt kitűzni. Ilyen rövid idő alatt ennyi információ... Igy szép a forum. Itt van egy másik:

Számitsuk ki:

\sum_{1 \le i \le n} \frac{1}{i}+\sum_{1 \le i<j \le n} \frac{1}{i \cdot j}+\sum_{1 \le i<j<k \le n}\frac{1}{i \cdot j \cdot k}+\cdots+\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot3 \cdots n}

Előzmény: [1367] rizsesz, 2006-09-12 19:24:27
[1377] ágica2006-09-24 20:35:34

Én meg vagy ötször átszámoltam, mert nem akartam elhinni hogy tényleg nem jön ki :)) Egyébként milyen más módszerrel lehetne az egyenlőtlenséget belátni?

Előzmény: [1376] Lóczi Lajos, 2006-09-24 20:21:21
[1376] Lóczi Lajos2006-09-24 20:21:21

Igen, pont ez a tanulság. A gyengébb nem jön ki indukcióval, az erősebb igen. Ha tehát az indukcióban az "öröklődési tulajdonság" igazolása nem jár sikerrel, az még nem jelenti azt, hogy az eredeti állítás nem igaz.

Előzmény: [1375] ágica, 2006-09-24 20:19:16
[1375] ágica2006-09-24 20:19:16

Hát bevallom, azt is próbáltam indukcióval, csak épp nem jártam sikerrel, úgyhogy hamar fel is adtam :)

Előzmény: [1372] Lóczi Lajos, 2006-09-24 20:05:36
[1374] epsilon2006-09-24 20:08:39

Elnézést, a limesznél nem x hanem n tart a végtelenhez!

[1373] epsilon2006-09-24 20:06:13

Elnézést, hogy képben szúrom be, de csak a Math Typpel szoktam dolgozni!

[1372] Lóczi Lajos2006-09-24 20:05:36

Rendben, de [1369]-et épp azért pont úgy tűztem ki, hogy direkt azt próbálja az ember indukcióval megcsinálni :) Számomra tanulságos volt, amikor találkoztam ezzel a példával.

Előzmény: [1371] ágica, 2006-09-24 19:31:04
[1371] ágica2006-09-24 19:31:04

Ez például teljes indukcióval könnyen igazolható: n=1-re, 2-re az állítás igaz. Tegyük fel, hogy valamilyen n-re is teljesül, és vizsgáljuk n+1-re a bal oldalt:

\frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\le\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}

az indukciós feltevés miatt. Innen már elég belátni, hogy

\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\le\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}

ez pedig teljesül, mivel átszorzás, négyzetre emelés és rendezés után azt kapjuk, hogy 19n\le20n.

(És ebből persze következik, hogy [1369] is igaz.)

Előzmény: [1369] Cckek, 2006-09-24 16:07:08
[1370] Lóczi Lajos2006-09-24 18:26:12

Sőt, melyik az a legnagyobb a>0 szám, hogy egy alkalmas N indexszel minden n>N esetén


\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}<\frac{1}{\sqrt{a n}}?

Előzmény: [1369] Cckek, 2006-09-24 16:07:08
[1369] Cckek2006-09-24 16:07:08

Mitöbb minden pozitiv egészre fennáll:

\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\le \frac{1}{\sqrt{3n+1}}

Bocs hogy közbeszóltam.

Előzmény: [1368] Lóczi Lajos, 2006-09-24 10:49:54
[1368] Lóczi Lajos2006-09-24 10:49:54

Igazoljuk, hogy tetszőleges pozitív egész n esetén fennáll, hogy


\frac{1\cdot 3\cdot 5 \cdot 7\cdot ...\cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6 \cdot 8\cdot ...\cdot (2n)}<\frac{1}{\sqrt{3n}}.

[1367] rizsesz2006-09-12 19:24:27

Sirpi nyert. :) Amúgy az ugyanoda nem véletlenül volt mácskákörömben, mint fel lettem világosítva. elnézést ezért a "remek" feladatért. :)

[1366] jonas2006-09-12 16:54:28

Egyrészt még mindig elkanyarodhatnak miután elindultak ellentétes irányba. Másrészt ennyi erővel állhatnak két futógépen egymással szemben, és mondjuk lusták, úgyhogy csak gyalogos sebességre kapcsolnak.

Előzmény: [1363] rizsesz, 2006-09-11 23:55:12
[1365] Sirpi2006-09-12 09:41:46

Pl. mindkettő hazajut?

Előzmény: [1363] rizsesz, 2006-09-11 23:55:12
[1364] Suhanc2006-09-12 08:39:39

Kedves Jonas és Rizsesz,

elnézést, nemrég figyelmeztettek rá, hogy totál nem az volt a feladat, a 3 nőnél, amit gondoltam, ill. ami szerepelt régebben. Ebben az értelemben az előző hozzászólásom nem tartalmaz fontos infót...(és nem olvastam el figyelmesen azt a 2 sort..:S)

Előzmény: [1355] Suhanc, 2006-09-11 08:11:54
[1363] rizsesz2006-09-11 23:55:12

Nos.: Két ember elindul egy pontból ellentétes irányba "ugyanoda" jutnak 1 óra GYALOGOS séta után

hogy lehet ez?

[1362] Doom2006-09-11 22:38:32

Hehh... gyors vagy! Én még mindig rajzot akartam hozzá készíteni, de mivel ilyen jól leírtad, inkább leteszek róla (ugyse sikerült jól, nem jön be ez a fránya Euklidesz.. :(. )

Előzmény: [1361] Suhanc, 2006-09-11 22:27:21
[1361] Suhanc2006-09-11 22:27:21

Tekintsük a pontok által meghatározott háromszögek közül a legnagyobb területűt, ha több ilyen van, akkor ezek egyikét. Tükrözzük a háromszöget az oldalak felezőpontjaira. Így egy olyan, 4 területű háromszöget kapunk, melynek az erdeti háromszög a középvonalakból alkotott háromszöge. Végiggondolható, hogy ezen a háromszögön kívül nem lehet pont, mert ekkor az erdetileg felvett háromszögnél nagyobb területű háromszöget találnánk... ezt a gondolatmenetet végigjárva a bizonyítást befejeztük.

Előzmény: [1357] rizsesz, 2006-09-11 10:39:41

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]