Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1806] Lacczyka2007-01-24 18:51:15

Üdv!

Igazából segítséget szeretnék kérni. Még régen találkoztam ezzel a feladattal:

Egy szigeten él 23 oroszlán. Ezek az oroszlánok teljesen civilizáltak (egymást "élve" nem eszik meg), okosak (képesek elvont gondolkodásra), és nemutolsósorban nagyon éhesek, lévén hogy a szigeten rajtuk kívül nincsen semmi.

Néhány galád kutató kísérleti jelleggel elhelyez a sziget közepén egy adag mérgezett húst (a galád kutatók a feladat szempontjából nem ehetőek), és várják, hogy az oroszlánok megeszik-e. A méreg hatása az, hogy amelyik oroszlán megeszi, az elalszik, de nem hal éhen. Ha viszont elaludt, akkor inenstől kezdve őt is megehetik az oroszlántársai, ebben az esetben azonban az az oroszlán, aki megeszi őt, szintén elalszik. Röviden: ha egy oroszlán megeszi a mérgezett húst, akkor életben marad, viszont mostantól mérgezett húsként funkcionál.

Az oroszlánok okosak, tudják, hogy a hús mérgezett, és a következő elvek alapján döntenek: 1, semmilyen körülmények között nem akarnak megevődni, vagyis inkább éhenhalnak, minthogy valaki őket netán elfogyassza. 2, életben akarnak maradni, vagyis ha nem fenyeget veszély, akkor megeszik a húst, és elalszanak.

Mit fog tenni az az oroszlán, amelyik először ér oda a húshoz: megeszi-e, vagy sem?

A feladat nem túl nehéz. Igazából hasonló típusú feladatokat szeretnék gyűjteni. Hogyha van valakinek olyan feladata, ami ehhez megoldásában, vagy gondolkodásmódjában hasonlít, akkor az legyen szives elküldeni nekem.

Előre is köszi: Lacczyka

[1805] Python2007-01-22 17:15:29

Jó példa...

Megyek és megcsinálom :)

Előzmény: [1804] sakkmath, 2007-01-22 11:22:22
[1804] sakkmath2007-01-22 11:22:22

A komoly problémák után kikapcsolódásként következzék egy könnyedebb, humoros feladat, amely Áprilisi fejtörő címmel a KöMaL 1980/4. számában jelent meg Csirmaz Lászlótól.

[1803] Cckek2007-01-21 09:59:09

De igen:) Ugyanis pontosan az

\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{z^2}

diofantikus egyenlet megoldása közben jött elő ez az egyenlet.

Előzmény: [1802] epsilon, 2007-01-21 09:08:31
[1802] epsilon2007-01-21 09:08:31

Köszi Mindenkinek! Alaposan kimerítettétek a témát! ;-) Cchek: a két szöget x illetve y-ra nevezve, mindkét oldalt 4-gyel szorozva, a sin2x=2sinx×cosx alapján, nullára rendezve, két négyzetösszek különbsége szorzatra bomlik és ez a 2 eset áll elő: sin2x=-2ctgy illetve sin2x=2ctgy és most a sin2x-et a tangens felesképletekkel kifejezzük sin2x=2t/(1+t×t) ahol t=tgx és így t-ben másodfokú egyenlet lesz, szerinted ez az út nem járható?

[1801] Lóczi Lajos2007-01-20 23:54:31

A számítógép szépen végignézte az összes esetet, és persze megtalálta a (100,0,0,0,0,0), (50,50,50,50,0,0) optimumokat (és csak ezeket találta).

Előzmény: [1799] HoA, 2007-01-20 19:43:10
[1800] Lóczi Lajos2007-01-20 21:32:49

Ó, persze, a nemnegativitási feltételeket kihagytam. Köszönöm, hogy rámutattál.

(Az zavarhatott meg, hogy egyenlőtlenséggel megadott feltételek esetén a multiplikátoroknak maguknak is nemnegatívnak kell lenniük, de ez még nem mond semmit a változókról...)

Előzmény: [1799] HoA, 2007-01-20 19:43:10
[1799] HoA2007-01-20 19:43:10

A megfigyelt jelenség már akkor is előjön, ha csak az első feltételt vesszük. Legyen tehát

L(x,y,\mu):=x2+y2+\mu(100-x-y)

Az első két parciális deriváltból itt is kijön x=y. Ábrázoljuk az f(x,y)=x2+y2 függvényt az xy síkban szintvonalakkal: ezek nyilván origó középppontú koncentrikus körök. A vizsgált tartomány az x+y=100 egyenes által határolt félsík. f(x,y) a tartományban és a határán is tetszőleges nagy értéket felvehet, maximuma nincs. Az egyenes x=0 vagy y=0 értékkel jellemzett pontja, amelyekből az y=100 ill. x=100 érték adódna, semmilyen különleges szerepet nem játszik. Nem is csoda, hiszen nemcsak x és y nagyságviszonyát, hanem az x\ge0 , y\ge0 feltételeket sem vettük figyelembe. Ha megtesszük, a Lagrange függvény így alakul:

L(x,y,\mu1,\mu2,\mu3):=x2+y2+\mu1(100-x-y)+\mu2(x-0)+\mu3(y-0)

A megoldandó egyenletrendszerben a 0-t adó szorzatoknál 0 tényezőül {100-x-y=0;\mu2=0;y=0} -t választva x = 100, {100-x-y=0;x=0;\mu3=0} -ból y = 100 adódik. A {\mu1=0;x=0;y=0} választás a megengedett \Delta alakú tartomány harmadik csúcsát jelóli ki, de itt persze nincs maximum. Visszatérve eredeti feladatunkra, itt az x+y\le100 és z+t+u+w\le100 mellett a w\ge0 , u\gew , t\geu, ... , x\gey feltételeket is figyelembe kell venni. Ezzel egyúttal a változók nemnegatív voltát is biztosítjuk. A 8 db 0 szorzat 0 tényezőinek megválasztásánál - 28 eset - anélkül, hogy mind a 256 kombinációt végignéznénk, csak rámutatunk, hogy a { w=0; u=w ; t=u; z=t ; y =z ; x+y = 100 } választás adja az x=100,y=z=t=u=w=0 megoldást, míg a { w=0; u=w ; z=t ; y =z ; x+y = 100 ; z+t+u+w = 100 } kombináció az x=y=z=t=50,u=w=0 eredményt.

Előzmény: [1791] Lóczi Lajos, 2007-01-19 01:16:58
[1798] Cckek2007-01-20 13:29:37

Legyen \theta,\phi \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right) úgy, hogy tg\theta,tg\phi\inQ.

Oldjuk meg a cos2\thetasin2\theta=ctg2\phi egyenletet.

[1797] HoA2007-01-19 23:04:07

A módszer az alábbi általánosításig biztosan működik:

- a két csoportban szereplő számok darabszáma ( most 2, ill. 4 ) legyen k ill. m.

- a csoportok elemeinek összege ( most 100,100) ne legyen nagyobb, mint A ill. B

Tehát legyen k+m számunk, x1,...,xk+m , ahol

x1\gex2\ge...\gexk+m\ge0(1)
\sum_{i=1}^k {x_i} \le A (2)
\sum_{j=1}^m {x_{k+j}} \le B (3)

Mekkora \sum_{i=1}^{k+m} {x_i}^2 maximuma?

Az összeget rögzített xk (az első csoport legkisebb eleme, az eddigi y) mellett vizsgáljuk. (1) -ből és (2) -ből A \ge \sum_{i=1}^k {x_i} \ge k \cdot x_k , 0 \le x_k \le \frac{A}{k} ( Ez egyben válasz Epsilon kérdésére: A=100 és k=2 esetére 0\lex2=y\le50 ) Az [1795]-beli indokláshoz hasonlóan belátható, hogy az első csoport négyzetösszege akkor a legnagyobb, ha x2=x3=...=xk x1=A-(k-1).xk Példa: ha k=4,x4=4,A=22 , akkor { 10;4;4;4 } négyzetösszege nagyobb, mint pl. { 7;6;5;4 } -é. A második csoportra igaz az [1795]-beli szabály: ameddig lehet xk+j=xk egy szám pedig B és az eddigiek összegének különbsége: xk+1=xk+2=...=xk+d=xk,xk+d+1=B-d.xk Az [1795]-beli szakaszhatárok most a \frac{B}{m} , \frac{B}{m-1} ... értékek. Vegyük észre, hogy  \frac{A}{k} > B esetén xk>B is előfordulhat, tehát maga B is lehet szakaszhatár. Ekkor a második csoport első eleme B, a többi 0. Másrészt ha B \ge m \cdot \frac{A}{k} akkor a második csoportba mindig "belefér" m darab xk érték, tehát görbénk csak egyetlen parabolaívből áll. Függvénygörbénk - a maximális négyzetösszeg xk tól függése - vizsgálatát másokra hagyom.

Előzmény: [1796] epsilon, 2007-01-19 17:09:25
[1796] epsilon2007-01-19 17:09:25

Helló HoA! Valóban elemi, logikus, szép. Van néhány kérdöjelem, amit magamban kellene tisztáznom: Az y nem több mint 50 az indulásból feltehető? Továbbá ha általánosítani kellene, a 100 helyett pl. 2a lenne, na meg a tagok száma 6 helyett n, akkor az általad jelzett 3 intervallumba sorolás az y-ra vonatkozóan hogyan alakulna, mindegyiket külön-külön elemezni kellene, vagy belátható-e elég könnyen, hogy a sok lokális maximumból melyik is a globális maximum? Én ezeken tűnődöm, ha vannak megjegyzéseid, szívesen veszem, és kösz, a megoldásodban volt jó pár mentő ötlet! Üdv: epsilon

[1795] HoA2007-01-19 11:20:58

Egy elemi eszközöket használó megoldás lépései:

Bontsuk a négyzetösszeget két részre, legyen az első tag x2+y2 , a második z2+t2+u2+w2 . Vizsgáljuk a maximumot rögzített y mellett (0\ley\le50). Az első tag nyilván akkor a legnagyobb, ha x = 100 - y. A második tagban keressük négy 0 és y közötti z,t,u,w szám maximális négyzetösszegét, ahol z+t+u+w<=100 .

1) Belátható, hogy ha z+t+u+w<100 és nem mindegyik = y, akkor az y-nál kisebb számok növelésével a négyzetösszeg nő.

2) Belátható, hogy rögzített z+t+u+w mellett a négyzetösszeg nő, ha egy nagyobb számot növelünk és egy kisebbet csökkentünk: Szabatosan : Ha z>t\ged>0, akkor (z+d)2+(t-d)2>z2+t2

1) -ből és 2) -ből következik, hogy a második tag akkor a legnagyobb, ha z,t,u,w ameddig csak lehet = y , egy szám pedig a többiek 100-ból vett maradéka. Vagyis a második tag szerkezete függ y-tól. Szabatosan: Ha 0 \le y \le \frac{100}{4} = 25 , akkor a második tag maximuma 4y2 , a két tag összege

(100-y)2+5y2(1)

. Ha 25 = \frac{100}{4} \le y \le \frac{100}{3} = 33\frac13, akkor a második tag maximuma 3y2+(100-3y)2 , a két tag összege

(100-y)2+4y2+(100-3y)2(2)

. Végül ha 33\frac13 = \frac{100}{3} \le y \le \frac{100}{2} =50 , akkor a második tag maximuma 2y2+(100-2y)2 , a két tag összege

(100-y)2+3y2+(100-2y)2(3)

A négyzetösszeg maximumot y függvényében ábrázolva tehát egy három, egymáshoz csatlakozó, alulról konvex parabolaívből álló görbét kapunk. A teljes y tartományra a maximumot ezért csak a széleken és a csatlakozási pontokban kell vizsgálni. természetesen a már ismert eredményt kapjuk: A maximum 10000, amit az x=100, y=z=t=u=w=0 és az x=y=z=t=50, u=w=0 értékrendszerek adnak.

Előzmény: [1792] epsilon, 2007-01-19 07:16:56
[1794] epsilon2007-01-19 11:16:20

Szerintem nem, mert ennél nem használtuk fel a betűk közötti rendezési sorrendet, és ha annélkül kijönne, akkor...nem stimmel mert a feltételek nélkül más értékekre nagyobb lehet a maximum. Vagyis akár rendezett sorrenddel, akár annélkül, nem jöhet ki ugyanaz.

[1793] Cckek2007-01-19 10:15:30

Nos a kérdésem az, hogy ezen feltételek mellett fennáll-e a

(x+y+z+t+u+w)2+(x-y)2+(x-z)2+(x-t)2+(x-u)2+(x-w)2+(y-z)2+(y-t)+(y-u)2+(y-w)2+(z-t)2+(z-u)2+(z-w)2+(t-u)2+(t-w)2+(u-w)2\le6.1002 egyenlőtlenség? Ugyanis ekkor a Lagrange azonosságból következik a maximum.

Előzmény: [1791] Lóczi Lajos, 2007-01-19 01:16:58
[1792] epsilon2007-01-19 07:16:56

Egy biztos: a feladatot olyan helyen találtam, hogy elemi eszközökkel gondoltak a megoldására. Ahogy viccese mondják, ezt analízissel megoldani olyen mint a bolhavadászat fejszével :-) Az alapelgondolásom az volt (az y-nál kisebb rendett számok miatt), hogy mivel előtte csak 1 szám van, nála kisebb meg 4 szám, ezért az x maximizálása sokkal gyengébb mint az y maximizálása, ami által a többi 4 szám maximizálható, és ezeket maximizálva jobban közeledünk a négyzetösszeg maximumához. Valahogyan nem illik ebbe a képbe a 100, és a többi 0 megoldás. Persze mindez csak érzés, sejtés, de...???

[1791] Lóczi Lajos2007-01-19 01:16:58

Felírtam a feltételeket, de nem jött ki csak 7500 a maximum értékére. Valaki tudna segíteni, hogy megértsem, miért nem kaptam meg a 10000-et?

Tehát a link azt mondja, írjam fel a feladat Lagrange-függvényét (az ottani \mu1 és \mu2 helyett \lambda és \mu betűket használtam):

L(x,y,z,t,u,w,\lambda,\mu):=x2+y2+z2+t2+u2+w2+\lambda(100-x-y)+\mu(100-z-t-u-w).

Ekkor a lehetséges maximum helyét az alábbi egyenlet-egyenlőtlenségrendszer megoldása adja (az alsó indexek a megfelelő parciális deriváltakat jelöljék, az L függvény argumentumait nem írom ki):

Lx=0,Ly=0,Lz=0,Lt=0,Lu=0,Lw=0,\lambda(100-x-y)=0,\mu(100-z-t-u-w)=0,\lambda\ge0,\mu\ge0.

Igen ám, de az első két egyenletből az jön ki, hogy x=y, és így rögtön kiesett x=100,y=z=t=u=w=0 megoldás.

Hol van vajon az ellentmondás oka? (A változók nagyság szerinti rendezésére vonatkozó feltételt egyelőre elhagytam az eredeti feladatból.)

Előzmény: [1790] Lóczi Lajos, 2007-01-19 00:00:48
[1790] Lóczi Lajos2007-01-19 00:00:48

Közben itt egy link a Kuhn-Tucker feltételekről, ez alapján el lehetne indulni:

http://mat.gsia.cmu.edu/QUANT/NOTES/chap4/node6.html

Előzmény: [1789] Lóczi Lajos, 2007-01-18 23:55:45
[1789] Lóczi Lajos2007-01-18 23:55:45

Le tudnád írni a multiplikátor-elvet ebben a szituációban, amikor egyenlőtlenségek is szerepelnek a feltételi halmaz kijelölésében? Vagy egy online hivatkozást esetleg, hogy szisztematikusan megpróbáljuk kiszámolni a kérdést.

Előzmény: [1786] Cckek, 2007-01-18 20:44:15
[1788] Lóczi Lajos2007-01-18 23:53:12

Néhány számítógépes teszt nem cáfolta az Általad írt két optimum helyét.

Előzmény: [1787] epsilon, 2007-01-18 21:50:05
[1787] epsilon2007-01-18 21:50:05

Bocs, a pötyögtetéssel elírtam :-( ezeket: x+y>=100, z+t+u+w>=100 helyesen így lenne: x+y<=100, z+t+u+w<=100 na meg nem szándékom nagyágyúval rálőni, mert több változóra, 100 helyett másra is, meg 6 szám helyett szerintem többre is a 100,0,0,0,0,0 illetve az 50,50,50,50,0,0 esetekben érné el a maximumot? De alaposabban indokolva? Vagy van más vélemény?

[1786] Cckek2007-01-18 20:44:15

Ez feltételes szélsőértékfeladat. A Lagrange multiplikátorokkal megoldható. Persze a feltételeknél az egyenlőtlenségek talán fordítva kéne álljanak...

Előzmény: [1772] epsilon, 2007-01-17 14:15:21
[1785] Sirpi2007-01-18 09:46:52

Nyilván a \geq100 egyenlőtlenségek helyett \leq100 kell hogy szerepeljen, legalábbis a korábbi elemzésből ez egyértelműen látszik.

Előzmény: [1784] HoA, 2007-01-18 08:34:51
[1784] HoA2007-01-18 08:34:51

Szia Epsilon!

Lóczi Lajosnak igaza van, így a feladat érdektelen. Viszont amúgy érdekelne, légy szíves nézd meg, ahol "összefutottál" vele, hogy is állnak valójában az egyenlőtlenségjelek.

Előzmény: [1772] epsilon, 2007-01-17 14:15:21
[1783] i2007-01-17 22:13:54

Egy cédulán, a 99.-en. :)

Előzmény: [1782] Matthew, 2007-01-17 21:32:55
[1782] Matthew2007-01-17 21:32:55

Bocsánat,Neked van igazad,én az állításból kifolyólag egyértelműnek tartottam,hogy ha a 2-es hátlapján 4-es van,akkor a 4-es kártya hátlapján 2-es van,és ezért elég csak az 1,3-at megfordítani....Becsapós,a 4-esen buktam el a dolgot...Cserébe itt egy feladat(bár igazság szerint a "Csak logika"topikba kellene írnom):

Van 100 cédula. Az elsőre azt írták, hogy "pont egy cédulára írt állítás hamis". A másodikra azt, hogy "pont két cédulára írt állítás hamis", és így tovább. A századikon ez áll:"pont száz cédulára írt állítás hamis". Vajon hány cédulán áll igaz állítás?

Előzmény: [1774] Sirpi, 2007-01-17 14:25:30

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]