|
[1909] Lóczi Lajos | 2007-02-22 19:41:12 |
Valaki azt állította, hogy a
függvény (t-szerinti) határozott integrálja 0 és 1 között minden pozitív x esetén kisebb 1-nél. Igaza van-e neki?
|
|
|
|
|
[1904] tim20 | 2007-02-22 07:16:52 |
Egy furcsa fa első nap 1,1/2-szeresére nőtt. Másnap az előző nap 1,1/3-szorosára, harmadnap az előző nap 1,1/4-szeresére és így tovább. Hány nap alatt nőtt meg az eredeti magasságának 100-szorosára?
|
|
[1903] Cckek | 2007-02-19 19:35:39 |
Nagyon szép. Gratulálok.
|
|
[1902] Lóczi Lajos | 2007-02-19 11:30:24 |
A kerdeses yn sorozat konvergens:
lathato, hogy minden indexre 0<xn<1. Ezt es a rekurziv definiciot hasznalva adodik, hogy
s igy n1 eseten
vagyis yn monoton no es felulrol korlatos.
A feladat kituzesehez a motivaciot nyilvan a (gyokvonasra szolgalo) Newton-iteracio adta, hiszen a megadott rekurzio nagyon hasonlit hozza, es a konvergenciasebesseg is olyan ("a helyes tizedesjegyek szama minden lepesben megduplazodik").
|
Előzmény: [1896] Cckek, 2007-02-16 08:26:44 |
|
|
|
|
[1898] HoA | 2007-02-16 14:51:17 |
Lehet, hogy elírtad, de mivel mindkét helyen négyszer szerepel a "tucat", a két kifejezés értéke 0,5.tucat4 illetve 6.tucat4 , tehát mindenképpen a második a nagyobb, függetlenül attól, hogy a tucat milyen pozitív számot jelöl.
|
Előzmény: [1895] tim20, 2007-02-16 06:01:09 |
|
[1897] Lóczi Lajos | 2007-02-16 11:30:43 |
Nyilvan nagyon hasonlo a ket megoldas, de igy utolag megnezve, a megoldasomban valojaban nem is kell kihasznalni, hogy az eredeti an sorozat monoton novo, sem azt, hogy konvergens, csupan azt, hogy mindig (0,1)-ben van (es persze a lenyegi osszefuggest).
|
Előzmény: [1896] Cckek, 2007-02-16 08:26:44 |
|
[1896] Cckek | 2007-02-16 08:26:44 |
Sajnálom, elsiettem:)) De az csak jó lehet ha egy feladatra két szép megoldás is van a forumon. Amúgy azt hiszem az an1,n határértékből és
összefüggésből már következik, hogy pn nullsorozat.
Itt van még egy:
.
Konvergens-e az yn=n-(x0+x1+...+xn-1) sorozat?
|
Előzmény: [1894] Lóczi Lajos, 2007-02-15 11:40:09 |
|
[1895] tim20 | 2007-02-16 06:01:09 |
Melyik a több? Fél tucat tucat tucat tucat, vagy hat tucat tucat tucat tucat? A második vagy az első vagy egyenlőek?
|
|
[1894] Lóczi Lajos | 2007-02-15 11:40:09 |
Varhattal volna meg egy fel napot a leirassal :) de mivel tegnap 2 orat gondolkodtam a feladaton, beirom az en megoldasomat is.
Jeloljon n mindvegig nemnegativ egeszt. Konnyu latni, hogy an monoton no es minden n-re 0<an<1.
Legyen es szokas szerint p0:=1. A rekurziv osszefuggesbol kapjuk, hogy 1-an+1=(1-a1).pn2.
Mivel 0<pn monoton fogyo, ezert konvergens. Indirekten tegyuk fel, hogy pnp>0. A monotonitas miatt ekkor persze minden n-re pn>p, azaz -pn2<-p2.
Mivel tetszoleges valos x eseten x=1-(1-x)e-(1-x), ezert
e(1-a1)(-1-p2.n).
Ha most n, a jobb oldal tart 0-hoz. Az adodo ellentmondas mutatja, hogy pn valoban nullsorozat.
|
Előzmény: [1893] Cckek, 2007-02-14 19:51:20 |
|
[1893] Cckek | 2007-02-14 19:51:20 |
Ez a feladat túl szép ahoz, hogy megoldatlanul maradjon:
a1(0,1) Ha ak(0,1) akkor ak+1=ak2(ak-1)+1, de -1<ak-1<0 tehát 1-ak2<ak2(ak-1)+1<1 az-az ak+1(0,1). A matematikai indukció elve szerint an(0,1),nN.
an+1-an=an3-an2-an+1=(an-1)2(an+1)>0 tehát an növekvő. Legyen an határértéke l. Ekkor l=l3-l2+1,l[0,1] tehát l=1. Tehát létezik egy bn csökkenő sorozat, bn0 úgy hogy an=1-bn. Írhatjuk:
1-bn+1=(1-bn)3-(1-bn)2+1bn+1=bn(1-bn)2 ezért
ahonnan tagonként felírva majd összeszorozva kapjuk, hogy
ahonnan .
Tehát
|
Előzmény: [1890] Cckek, 2007-02-10 12:44:33 |
|
[1892] jonas | 2007-02-12 18:03:59 |
A feladatot nem találtam meg, de az állítást a Járai-könyvben igen (162. oldal).
Ez azt állítja, hogy a racionális számok halmaza nem áll elő megszámlálhatóan sok nyílt halmaz metszeteként.
|
Előzmény: [1854] jonas, 2007-01-31 15:08:11 |
|
[1891] HoA | 2007-02-10 16:32:44 |
Mint matektanárunk szokta mondani, az eredmény közlése nem egyenlő a feladat megoldásával. Ha valakinek kell egy kis segítség az ilyen típusú feladatok megoldásához, hát lássuk: 1. megközelítés. Ki mond igazat?
I: Az első ajtó mond igazat -> a nyeremény a 2. mögött van -> a 2. is igazat mond -> ellentmondás azzal, hogy csak egy mond igazat
II: a második ajtó mond igazat -> mivel csak egy ajtó mond igazat, az 1. ajtó hazudik -> a 3. is igazat mond -> ellentmondás azzal, hogy csak egy mond igazat
III. a harmadik ajtó mond igazat -> mivel csak egy ajtó mond igazat, az 2. ajtó hazudik -> a nyeremény a 3. mögött van -> az 1. hazudik -> JÓ MEGOLDÁS
2. megközelítés: Hol a nyeremény?
I: Az első ajtó mögött -> 1. hazudik, 2. igazat mond, 3. igazat mond -> két igazmodó: ellentmondás
II: A második ajtó mögött -> 1. igazat mond, 2. igazat mond -> két igazmodó: ellentmondás
III: A harmadik ajtó mögött -> 1. hazudik, 2. hazudik, 3. igazat mond -> JÓ MEGOLDÁS
|
Előzmény: [1889] Anum, 2007-02-10 11:00:54 |
|
[1890] Cckek | 2007-02-10 12:44:33 |
Az sorozat a következőképpen adott:
a1(0,1), an+1=an3-an2+1.
Számítsuk ki a következő határértéket:
.
|
|
|
[1888] tim20 | 2007-02-10 10:28:37 |
Sziasztok!
3 ajtó közül az egyik mögött nyeremény rejtőzik. Ám az ajtók közül csak az egyik mond igazat. Melyik ajtó mögött találod a nyerményed? 1.ajtó: "A 2-es mögött van." 2.ajtó: "Nem a 3-as mögött van." 3.ajtó: "Az 1-es hazudik!"
Lehetőségek:
1. ajtó 2. ajtó 3. ajtó nem lehet meghatározni, hogy melyik mögött van egyik mögött sincs
|
|
[1887] Cckek | 2007-02-06 17:33:44 |
Valóban szép interpolációs polinom, akkor az ajánlom szerkesszük meg trigonometrikus interpolaciós polinomját is, úgy hogy 1,2,3,...,8 helyeken a polinom ezeket az értékeket vegye fel:)
|
Előzmény: [1886] HoA, 2007-02-06 16:48:13 |
|
[1886] HoA | 2007-02-06 16:48:13 |
Igazán díjazom a humorotokat, de azért ne hülyítsük az ifjúságot! LócziLajos rámutatott, hogy tetszőleges y1,y2,...,yk racionális értékekhez megadható olyan, legfeljebb k-1 -edfokú racionális együtthatós polinom, mely az 1,2, ... , k helyeken éppen az adott értékeket veszi fel ( vagy máshol, ld. második példa ) Ekkor persze mondhatjuk, hogy megvan a "szabály" , a sorozat folytatása a polinom következő egész helyeken felvett értéke.
Bohner Géza ötlete még keményebb, tkp. azt mondja, bármi megfelel, aminek az eleje megegyezik a megadottakkal. Mondjuk az adott számok Hófehérke és a hét törpe születésnapjának "nap" részei, és a következő szám a királyfi szülinapjának "nap"-ja. (Hogy ezeket honnan tudjuk, az más kérdés :-))
Félretéve a tréfát, nem mindig olyan egyértelmű rájönni az "igazi" szabályra, vagyis arra, amire a feladat kitűzője gondolt. Nekem már jött ki IQ-teszt -szerű feladatokban más "következő száma a sorozatnak" mint ami a megoldások között szerepelt, pedig igyekeztem a feladatkitűzők matematikai szintjére "emelkedni".
|
Előzmény: [1884] BohnerGéza, 2007-02-06 12:42:04 |
|
|