Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2520] Lóczi Lajos2007-12-28 21:08:34

Akkor tehát egyetértünk, hogy a [2509]-es hozzászólásod téves érvelést tartalmazott?

Előzmény: [2519] hobbymatekos, 2007-12-28 00:35:05
[2519] hobbymatekos2007-12-28 00:35:05

Ez már hermitikus és idempotens is. És pozitiv szemidefinit. Diagonizálható. Egy diagonál mátrix pedig triviálisan hermitikus és idempotens, ha elemei valósak (csak ekkor hermitikus definició szerint). Legyen M mxn mátrix, rangja n. És oszlopai ortonormáltak, P=MM' hermitikus,ha főátlóbeli elemei valósak, továbbá ortonormáltság miatt M'M=I , nxn es identitás. Létezik U unitér mátrix, T=U'PU. Mivel P hermitikus, T is az. PP=P implikálja TT=T, hiszen minden diagonális elem 1 vagy nulla és a rang ugyanannyi marad, azaz T n db 1 est és m-n db nullát tartalmaz főátlójában. Azaz P=UTU'=UTTU=UT'U'UT'U=MM' és M olyan mátrix, hogy n oszlopa U beli. Innen generalizálással adódik az állitás. Q rangja ugyanannyi mint P nek, valamint hermitikus idempotens.

P=PP=PPP implikálja TQ=TTQ implikáció ugyanaz, mint T=TQT.

Előzmény: [2518] Cckek, 2007-12-26 14:17:40
[2518] Cckek2007-12-26 14:17:40

\left(\matrix{a & \sqrt{a(1-a)}\cr \sqrt{a(1-a)}&1-a\cr}\right),\quad a\in(0,1)

elég hermitikus?

Előzmény: [2517] hobbymatekos, 2007-12-26 14:00:25
[2517] hobbymatekos2007-12-26 14:00:25

Ez a mátrix nem hermitikus.

Előzmény: [2516] Cckek, 2007-12-26 13:08:46
[2516] Cckek2007-12-26 13:08:46

Hmm, szerinted tehát csak O illetve I idempotens? Amugy az idempotencia ebben az esetben a sor/oszlop mátrixszorzásra vonatkozik, s gondolom ott követted el a hibát hogy így ültetted át az értelmezést: x\in(G,*) idempotens, ha x*x=x, most pedig a *-ot sorra a + illetve . műveletekkel helyetesítetted. Keress olyan négyzetes másodrendű mátrixokat melyeknek nyoma 1 determinánsa 0. Ezek mind idempotensek lesznek:D

pl: \left(\matrix{\frac14&\frac38\cr \frac12& \frac34\cr}\right)

Előzmény: [2515] hobbymatekos, 2007-12-26 12:43:15
[2515] hobbymatekos2007-12-26 12:43:15

A nullelem idempotens az összeadás és szorzás binér műveletre. A nullelemtől különböző elemek közül csak az egységelem idempotens és csak a szorzásra nézve. Mivel az állitás csak szorzást tartalmaz, ezért 0 vagy egységelemre teljesülhet az idempotencia. Az állitás a hermitikus mátrixok körében csak a valós P=Q=0 vagy P=Q=I mátrixokra igaz. De nem igaz, hogy csak P=Q-ra igaz. Ha Q=I akkor tetszőleges P re igaz. Ha P=0 akkor tetszőleges Q ra igaz. Q=0 ra nem igaz.

Előzmény: [2513] Cckek, 2007-12-26 01:02:06
[2514] ágica2007-12-26 11:36:21

Ezt meg én nem értem :)

\frac{2}{\pi}\frac{\sqrt{\pi}}{2}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}, illetve \Gamma\big(\frac{2n}{2}+1\big)=n!. 2n>-1 pedig minden természetes számra teljesül. Amit írsz, az viszont n=2-től megint nem jó.

Előzmény: [2510] hobbymatekos, 2007-12-26 00:04:37
[2513] Cckek2007-12-26 01:02:06

Ha A+A=A\impliesA=A-A=O(n) az-az az "idempotencia feltételed" csak a nullmátrixra teljesül.

Előzmény: [2509] hobbymatekos, 2007-12-25 23:25:13
[2512] Lóczi Lajos2007-12-26 00:25:21

itnincs = nincs

Előzmény: [2511] Lóczi Lajos, 2007-12-26 00:23:20
[2511] Lóczi Lajos2007-12-26 00:23:20

Az idempotens mátrix definíciójában itnincs benne az, hogy A+A=A kellene legyen. Az identitásmátrix idempotens.

Továbbra sem értelek tehát.

Előzmény: [2509] hobbymatekos, 2007-12-25 23:25:13
[2510] hobbymatekos2007-12-26 00:04:37

Tényleg:-) De azért beirom. Ez jobb korlát és 2n>-1 re jó.

\frac {2}\pi \frac {\sqrt{\pi }}2 
\frac {\Gamma( \frac{2n+1}2)}{\Gamma( \frac{2n}2+1)}\le \frac{1}{n\sqrt{3}}

Itt a baloldal az előző szinuszos integrál(persze ugyanannyi az érték koszinusszal is.)

Előzmény: [2507] ágica, 2007-12-25 21:42:29
[2509] hobbymatekos2007-12-25 23:25:13

Def.: A idempotens ha A+A=AA=A.

A feltétel szerint P, Q hermitikus és idempotens volt. P=QP egyenlőség tetszőleges nem elfajuló (detP vagy detQ nem nulla) mátrixokra pl: Q=I lenne, de I nem idempotens.

Előzmény: [2508] Lóczi Lajos, 2007-12-25 21:42:39
[2508] Lóczi Lajos2007-12-25 21:42:39

Nem egészen értem, mit írsz.

"Def.: A idempotens ha A+A=AA=A A feltétel szerint P, Q hermitikus és idempotens volt P=QP egyenlőség tetszőleges nem elfajuló (detP vagy detQ nem nulla) mátrixokra pl: Q=I lenne, de I nem idempotens."

Át tudnád ezt fogalmazni magyarosabbra? Összefolynak a részek. Amúgy miért veszed bele az idempotens definíciójába az összeget?

Előzmény: [2505] hobbymatekos, 2007-12-25 17:05:24
[2507] ágica2007-12-25 21:42:29

Akkor már n=2-re sem teljesülne.

(A feladat egyébként már körül volt járva ugyanebben a témában, [1369]-től kezdve.)

Előzmény: [2506] hobbymatekos, 2007-12-25 20:38:26
[2506] hobbymatekos2007-12-25 20:38:26

Szerintem a jobboldal

\frac{1} {n\sqrt {3}}

Előzmény: [2500] Lóczi Lajos, 2007-12-23 23:42:57
[2505] hobbymatekos2007-12-25 17:05:24

Egyelőre csak a következőt sikerült igazolnom: P=PQ=QP Ez segédtételből következik: Ha P és Q hermitikus, akkor PQ=QP(kommutativitás) továbbá P ill. Q idempotens (a feltételek szerint) Def.: A idempotens ha A+A=AA=A A feltétel szerint P, Q hermitikus és idempotens volt P=QP egyenlőség tetszőleges nem elfajuló (detP vagy detQ nem nulla) mátrixokra pl: Q=I lenne, de I nem idempotens. Hermitikus, idempotens mátrixokra Q=P.

Előzmény: [2399] Lóczi Lajos, 2007-10-22 12:32:28
[2504] Cckek2007-12-24 16:57:02

Kellemes, boldog és békés Karácsonyt minden tisztelt forumozónak. ...és a piával csak Lebesque mértékkel:D

[2503] Lóczi Lajos2007-12-24 02:16:45

Igen, a feladat érdekessége abban van, hogy indukcióval közvetlenül nem jön ki, viszont egy nála erősebb állítás igen: ha a jobb oldalra \frac{1}{\sqrt{3n+1}}-et írunk, az indukció már végigmegy.

Előzmény: [2501] Csimby, 2007-12-24 01:26:49
[2502] rizsesz2007-12-24 01:30:03

pedig van indukciós, csak sajna nem saját :( úgyhogy nem dobom be a közösbe (viszon Csimby megoldása szép!).

más kérdés: az első 2n pozitív egész számból kiválasztunk k. mekkora k értéke, ha tudjuk, hogy k-ra igaz, hogy van a k szám között 3 olyan, amelyek közül az egyik a másik kettő összege, továbbá az is igaz, hogy ez már k-1 esetén nem teljesül?

Előzmény: [2501] Csimby, 2007-12-24 01:26:49
[2501] Csimby2007-12-24 01:26:49

Először persze megpróbáltam indukcióval, hamár arról volt szó, de úgy nem jött ki. Viszont felhsználva, hogy: \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac{\pi}{2}\le\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} Bizonyítandó állításnak \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\le\frac{1}{\sqrt{3n}}\cdot\frac{\pi}{2}-t kapjuk. Ami már kijön indukcióval. Amit felhasználtam az meg abból jön ki, hogy az a_{2n}:=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2n}x dx=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac{\pi}{2} ill. a_{2n+1}:=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2n+1}x dx=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} sorozat monoton fogyó.

Előzmény: [2500] Lóczi Lajos, 2007-12-23 23:42:57
[2500] Lóczi Lajos2007-12-23 23:42:57

Igaz-e, hogy ha n pozitív egész, akkor

\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot ... \cdot  \frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{3n}} ?

[2499] Cckek2007-12-22 16:22:42

Itt van egy, bár eléggé egyszerű. Legyen:

z\inC,  |z|=1,  A\inM2(R),  TR(A)=1,  det(A-zI2)=0.

Ekkor An csak A és z függvénye.

Előzmény: [2497] Gyöngyő, 2007-12-22 11:08:52
[2498] Cckek2007-12-22 15:11:39

Cauchy bizonyitása a számtani- mértaniközép egyenlőtlenségre. Ez a Wikipédián is megvan úgy emlékszem.

Előzmény: [2497] Gyöngyő, 2007-12-22 11:08:52
[2497] Gyöngyő2007-12-22 11:08:52

Sziasztok!

Segítséget szeretnék kérni! Az lenne a kérdésem,hogy hol találok olyan feladatokat,amiben a teljes indukció kicsit furcsa modon kerül elő vagy nem teljesen követi a megszokott utat!

Köszönettel: Zsolt

[2496] Enkidu2007-12-17 10:42:35

Teljesen igazad van! Elnézést a Mortimer-Moriarty hibáért!

Előzmény: [2495] Cckek, 2007-12-14 22:43:57

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]