Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2974] Lóczi Lajos2009-06-17 12:17:38

(Igen, én is pont ezt akartam írni :-)

Előzmény: [2971] Csimby, 2009-06-17 00:25:55
[2973] Lóczi Lajos2009-06-17 12:16:38

Itt egy másik rokon klasszikus feladat.

Egy falhoz támasztott létra az ábrán látható módon lecsúszik. (A létra két vége tehát mindig érinti a falat, illetve a padlót.) Írjuk fel az így kialakult burkológörbét.

[2972] Alma2009-06-17 03:19:46

A feladathoz annyit fűznék hozzá, hogy ez fizikus körökben egy nagyon ismert feladat (illetve ennek a háromszöges verziója, mely lényegében ugyanez). Középiskolai módszerekkel jól tárgyalható, nem kellenek komplex számok sem hozzá. A feladaton keresztül be lehet vezetni a polárkoordinátákat, mert messze célravezetőbb használatuk ebben az esetben, mint a Descartes-koordinátáké. Polárkoordinátákban gondolkodva lényegében 3-4 sor a feladat megoldása.

Előzmény: [2961] Lóczi Lajos, 2009-06-16 00:07:09
[2971] Csimby2009-06-17 00:25:55

Teknős? :-)

Előzmény: [2970] Tibixe, 2009-06-16 22:23:33
[2970] Tibixe2009-06-16 22:23:33

Vegyük fel az ábrát a komplex számsíkon, úgy hogy a négyzet középpontja a 0 pont legyen.

Egy kiválasztott teknős pályáját írja le az F(t) függvény, ahol t egy valós paraméter (pl. idő).

Szimmetriaokokból a következő teknős helye a kiválasztott teknős helye 90o-kal elforgatva, azaz i-vel szorozva.

Fk(t)=iF(t)

A teknős sebességének iránya mindig a következő felé mutat, a nagysága a feladat szempontjából lényegtelen, most válasszuk meg kényelmesen.

F'(t)=Fk(t)-F(t)

azaz

F'(t)=iF(t)-F(t)

F'(t)=(i-1)F(t)

Ez egy pofonegyszerű differenciálegyenlet, a megoldásai pedig:

F(t)=\lambdae(i-1)t

alakúak, ahol \lambda tetszőleges komplex szám.

Ha például azt akarjuk, hogy a kiválasztott teknős t=0-nál az (1;1) pontban legyen, akkor

\lambda=1+i

kell nekünk.

Ezzel nem csak négyzetre, hanem más szabályos n-sokszögekre is fel lehet írni a pályát:

F(t)= \lambda e^{ (\epsilon-1)t }

ahol \epsilon egy megfelelő n-edik egységgyök.

F(t) alakjából látszik, hogy a megoldás logaritmikus spirál lesz, amely az origóba tart.

Előzmény: [2969] HoA, 2009-06-16 21:21:39
[2969] HoA2009-06-16 21:21:39

Szimmetria okokból a négy pont mindig egy négyzet csúcsaiban helyezkedik el és e négyzetek középpontja közös ( O ) . A pályák érintője kezdetben 45oos szöget zár be az O -ból a görbe pontjába mutató vektorral. A pontnégyes bármelyik későbbi helyzetét is tekinthetjük a további mozgás kiindulópontjának, így ez a tulajdonság a pályák további pontjaira is igaz. A négy pálya tehát négy olyan görbe, melynek minden P pontjára az OP helyvektor 45o -os szöget zár be a P-beli érintővel. A logaritmikus spirálok egyenletének felírását meghagyom a következő hozzászólónak.

Előzmény: [2961] Lóczi Lajos, 2009-06-16 00:07:09
[2968] Lóczi Lajos2009-06-16 13:32:39

Mire gondolsz?

Előzmény: [2963] rizsesz, 2009-06-16 09:33:49
[2967] Lóczi Lajos2009-06-16 13:32:25

Akkor adjuk meg úgy.

Előzmény: [2964] sakkmath, 2009-06-16 11:04:40
[2966] Lóczi Lajos2009-06-16 13:31:27

Nekem akkor is trükkösnek tűnik :)

Előzmény: [2965] nadorp, 2009-06-16 12:14:11
[2965] nadorp2009-06-16 12:14:11

Ezt a kérdést most nem értem. A rekurzióból látszik, hogy a sorozatot az első elem egyértelműen meghatározza, másrészt "adja magát", hogy generátor függvényt használjunk és hogy ennek a négyzetét kell vizsgálni ( "látszik", hogy a rekurzió két polinom szorzatában az n+1-ed fokú tag együtthatóját tartalmazza).

Előzmény: [2962] Lóczi Lajos, 2009-06-16 00:08:23
[2964] sakkmath2009-06-16 11:04:40

Csatlakozom rizseszhez annyiban, hogy érdemes pontosítani a szöveget a triviális esetek kiküszöbölése céljából.

Közölni kellene azt, hogy a "szomszéd" a csúcsok mely körüljárási iránya szerint értendő. Ha a rajz a feladat eredeti szövegéhez készült, akkor (a mi nézőpontunkból) az óramutató járásával ellentétes irányt kell még megadni.

Előzmény: [2961] Lóczi Lajos, 2009-06-16 00:07:09
[2963] rizsesz2009-06-16 09:33:49

szerintem ez most nem jó feladat.

Előzmény: [2961] Lóczi Lajos, 2009-06-16 00:07:09
[2962] Lóczi Lajos2009-06-16 00:08:23

De hogyan jöttél rá erre a gondolatmenetre?

Előzmény: [2959] nadorp, 2009-06-12 11:31:59
[2961] Lóczi Lajos2009-06-16 00:07:09

Egy négyzet 4 sarkából a szomszédja felé egyenletes sebességgel egyszerre elindul 4 pont, és e pontok mindvégig egymást üldözik. Írjuk fel a mozgások pályáit.

[2960] Cogito2009-06-12 14:22:53

Kedves Oláh Vera!

Most mi a helyzet? Hol tart a KöMaL-CD kiadása és az adatbázis feltöltése?

Üdv: Cogito

Előzmény: [2629] Ratkó Éva, 2008-04-21 13:16:07
[2959] nadorp2009-06-12 11:31:59

Ha van elemibb - nem analízist használó - akkor érdekel. Egyébként itt egy analitikus vázlat.

Legyen a_1=\frac{\pi^2}6 és n\geq2 esetén

a_1a_n+a_2a_{n-1}+...+a_na_1=\left(n+\frac32\right)a_{n+1}

Azt kell bizonyítani, hogy an=\zeta(2n)

Könnyű látni indukcióval, hogy an\leqa1n, tehát az

y(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n

sorfejtés biztos értelmes a 0 r=\frac1{a_1} sugarú környezetében.

A rekurziót felhasználva kapjuk, hogy

y^2=x^2\left(\frac yx\right)^{'}+\frac32(y-a_1x)=xy^{'}+\frac12y-\frac32a_1x

 x\left(y-\frac14\right)^{'}-\left(y-\frac14\right)^2=\frac32a_1x-\frac1{16}

Legyen most

z(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\zeta(2n)x^n=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{n^{2k}}x^k=\sum_{n=1}^{\infty}\frac x{n^2-x}=\frac12-\frac{\pi\sqrt x}2\ctg{\pi\sqrt x}

( A fenti utolsó egyenlőség a cotangens függvény parciális törtekre bontásából adódik). Ellenőrizhető, hogy a z(x) függvény kielégíti a fenti diffenciálegyenletet és a_1=z^{'}(0)=\frac{\pi^2}6 is teljesül, ezért a bizonyítás kész.

Előzmény: [2954] Gyöngyő, 2009-06-04 23:29:11
[2958] S.Ákos2009-06-10 16:07:48

Mely p prímekre lesz \frac{19^{p-1}-1}{p} négyzetszám?

[2957] Gyöngyő2009-06-08 20:06:27

Sziasztok!

Ha valakit érdekel a megoldás,akkor szóljon,és elküldöm mailbe!

[2954] Gyöngyő2009-06-04 23:29:11

Sziasztok! Itt egy érdekes feladat:

Legyen \zeta a Riemann-féle Zeta-függvényt.

Bizonyítsd be, hogy minden n\geq2-re

\zeta(2)\zeta(2n-2)+\zeta(4)\zeta(2n-4)+...+\zeta(2n-2)\zeta(2)=\bigg(n+\frac{1}{2}\bigg)\zeta(2n)

[2953] HoA2009-05-21 14:44:56

Köszönöm, a Gimp-pel sikerült. Egyben egy kis fordítási gyakorlat is, mert hozzám magyarul beszélt :-)

Előzmény: [2952] lgdt, 2009-05-21 01:00:44
[2952] lgdt2009-05-21 01:00:44

(Vagy az imagemagick nevű programmal: convert kep.png -normalize ujkep.png)

Előzmény: [2950] jonas, 2009-05-18 19:00:39
[2951] Sirpi2009-05-18 23:28:38

Én is ezeket találtam. Mellesleg n×n méretnél n\geq2-re könnyű 2n-es példát mutatni, minden n-re 3n-3-at, n\geq4-re pedig 4n-8-at. Utóbbi kettő azonos, ha n=5, ez adja a két különböző megoldást. Azt sejtem, hogy n\geq5 esetén a 4n-8 nem javítható.

Amúgy én nem vacakoltam ennyit a képeiddel. Print screen, paint-be benyomtam, és befestettem fehérre a hátteret :-) Néhány betű közepe így sötét maradt ugyan, de teljesen olvasható.

Előzmény: [2948] jonas, 2009-05-18 18:29:34
[2950] jonas2009-05-18 19:00:39

Várj, ezt részletezem. Gimp-ben először megnyitod a képfájlt úgy, hogy letöltöd, majd a File menüből az Open parancsot választod, majd kiválasztod a letöltött képfájlt. Kiválasztod a Select by Color tool-t, és a Tool Options dialogban a Threshold csúszkát nullára állítod. Utána rákattintassz a képre valahol, ezzel kijelölted a képben az egyforma színű pixeleket. Ezután a színváltó melletti kis gombbal visszaállítod az aktuális előtérszínt feketére, a háttérszínt fehérre, majd a képen az Edit menüből lefuttatod a Fill with BG Color parancsot, ami fehérre színezi a kijelölést. Végül a Select menüből kiválasztod a None opciót, hogy a kijelölés határát mutató esetleges keret ne zavarjon.

Előzmény: [2949] jonas, 2009-05-18 18:36:33
[2949] jonas2009-05-18 18:36:33

Megnyitod egy képszerkesztőben, választassz egy szimpatikus pontot a képen, kijelölöd az összes olyan pontot, ami pontosan ugyanolyan színű, mint az a pont, és ezeket átszínezed fehérre.

Előzmény: [2947] HoA, 2009-05-18 18:26:57
[2948] jonas2009-05-18 18:29:34

Ha sor és oszlopcserére normáljuk a megoldásokat, akkor az is kiderül, hogy a 4-szer 4-es esetben lényegében csak egy megoldás van, 5-ször 5-ös esetben pedig csak kettő.

Előzmény: [2946] jonas, 2009-05-18 18:12:31

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]