Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3103] Lóczi Lajos2009-12-13 01:15:16

Következzen végül néhány újabb kérdés és sejtés a C függvény kapcsán, amelyek természetes módon felmerülnek és amelyek között szerintem nehezebbek is vannak. (A saját tippjeimet egyelőre nem írom ide, hogy ne befolyásoljak senkit.)

Egy n szám 2-es ciklus, ha C(n)\nen, de C(C(n))=n. Hasonlóan definálhatók a k-hosszú ciklusok is.

3. feladat. Melyik az a legkisebb n, amely (a C leképezés iterációja során) előbb-utóbb 2-es ciklust eredményez?

4. feladat. Melyik az a legkisebb n, amely rögtön egy 2-es ciklus egyik tagja?

5. feladat. Igaz-e, hogy minden kezdőértékre a C iteráltjaiból alkotott sorozat előbb-utóbb ciklikussá válik? Ha igen, van-e tetszőlegesen hosszú "átmeneti szakasz", mielőtt a sorozat ciklizálni kezd? Van-e maximális ciklushossz, vagy pedig tetszőlegesen hosszú ciklusok előfordulhatnak?

6. feladat. Igaz-e, hogy C-nek van legnagyobb fixpontja? Ha igen, konkrétan melyik szám az?

A fenti C leképezést egyébként a Conway-féle "look and say" sorozat mintájára gyártottam, csak annál egyszerűbb. A Conway-féle sorozat sok érdekes tulajdonsággal bír, különösen meghökkentő a rá vonatkozó "cosmological theorem".

Előzmény: [3096] Lóczi Lajos, 2009-12-12 11:16:37
[3102] Radián2009-12-12 19:41:48

Ha vesszük a hatjegyűeket, ott 3 db különböző számjegy kell szerepeljen. A szám mindegy jegye kisebb az 5-nél. Ha a számok C(n) alakját akarom felírni az alábbi esetek állhatnak fenn:

1.) 4db x 1db y 1db z (a 4-es és 2 db 1-es sorrendje persze más is lehet, 1,4,1 1,1,4.) Tehát a számban biztosan fog szerepelni az 1,4,q számjegyek. 1-esből biztosan kell legyen legalább 2 db a C(n) felírás alapján, így a számban csak 4 db 1-es fordulhat elő, de ekkor nem az 1. ponti lenne a C(n) alak.

2.) 2db x 2db y 2db z Az 1. ponthoz hasonlóan n kellene tartalmazzon 3 db 2-est ,azaz C(n) alakjába kellene legyen egy 3db q alakú rész. Tehát ez az eset sem állhat elő.

3.) 1db x 2db y 3db z (Az 1,2,3 sorrendje más is lehet.) A szám eredeti alakjába tehát kell szerepeljen 1-es 2-es és 3-as, ezzel meg van az összes különböző jegy. Mivel x,y,z nem egyenlő egymással, így 1-esből 2-esből és 3-masból is több mint egy jegy fog szerepelni a számban, tehát nem lehet a C(n) alakja a 3. pontbeli.

Előzmény: [3101] Radián, 2009-12-12 19:17:27
[3101] Radián2009-12-12 19:17:27

A négyjegyűeket átfutottam. Egyik se lett jó. Elvileg csak a hatjegyűek között akadhat kisebb, de ezeket nem néztem meg rendesen. 4 jegyűeknél a szám pontosan két különböző számjegyet kell tartalmazzon, ráadásul mindkét jegyből 2-2 db van. E jegyek pedig a 0,1,2 közül kerülhetnek ki. Mivel mindkét jegyből 2-2 db van, ezért a keresett számok csak 2x2x alakúak lehetnek melyek nyilván nem egyenlők a hozzájuk rendelhető C(2x2x)-szel.

Előzmény: [3099] Valezius, 2009-12-12 18:07:21
[3100] Sirpi2009-12-12 18:17:40

5 perc alatt összeütöttem rá egy progit, amiből kiderült, hogy ez-e a 2. legkisebb... Annyit mindenesetre elárulok, hogy legfeljebb 8 jegyű megoldás 36 db van.

Előzmény: [3099] Valezius, 2009-12-12 18:07:21
[3099] Valezius2009-12-12 18:07:21

Ha 8 jegyűt keresünk, akkor 10-val kell kezdődnie, a 3. jegy 0,1,2 lehet, amiből a 0 nem lehet, de az 1 sem, hisz ez a helyiérték az egyesek számát mutatja. 1021x2yz alakú számok maradtak. x legalább 3. És ekkor kijön, amit írtál. Amiről elhiszem, hogy kisebb, mint az enyém :) Tehát ha van kisebb, akkor az 4 vagy 6 jegyű lehet.

Előzmény: [3098] Radián, 2009-12-12 16:12:24
[3098] Radián2009-12-12 16:12:24

A második legkisebb szerintem nem az 10311233. Egyelőre a legjobb amit találtam a 2. részre az 10213223 de szerintem ez is javítható.

Előzmény: [3097] Valezius, 2009-12-12 14:34:11
[3097] Valezius2009-12-12 14:34:11

22 a legkisebb, a második pedig szerintem 10311233.

Előzmény: [3096] Lóczi Lajos, 2009-12-12 11:16:37
[3096] Lóczi Lajos2009-12-12 11:16:37

Vezessük be a következő, C-vel jelölt függvényt.

C egy tízes számrendszerbeli pozitív egészhez egy ugyanilyen típusú számot rendel. A számok nem kezdődhetnek 0-val.

Ha n egy pozitív egész, akkor C(n) értéke legyen az a szám, amelyet úgy kapunk, hogy számjegyenként nagyság szerint sorban megszámoljuk, hogy az illető jegyből az n szám összesen hány darabot tartalmaz, ezt leírjuk, majd rögtön utána hozzáírjuk a számjegyet magát, és ezt minden szereplő jegyre megismételjük folytatólagosan leírva.

Például C(2009)=201219, mert 2009-ben (számjegyek szerint növekvő sorrendben) található "2 darab 0", "1 darab 2-es" és "1 darab 9-es".

Egy másik példa: C(31415927)=21121314151719.

Ha valamely számjegy nem szerepel n-ben, azt C nem veszi figyelembe, tehát nem mondunk olyat, hogy pl. "nulla darab egyes".

Egy n szám a C függvénynek fixpontja, ha C(n)=n.

1. feladat: Keressük meg C legkisebb fixpontját.

2. feladat: Keressük meg C második legkisebb fixpontját.

[3095] bily712009-12-02 11:59:04

Valószínűleg megbuktatnának :) Nem okoskodok tovább, igazatok van, inkább sokak örömére visszavonulok, nagyon keveset tudok, én itt esetleg csak kérdezhetek, ide nem elég a matek szeretete, itt tényleg zsenik vannak, valóban ez nem az a fórum... Inkább ezt a pár hónapot a felvételire való felkészüléssel kellene töltenem, elvégre sok bepótolni valóm van.

Előzmény: [3094] nadorp, 2009-12-02 08:52:48
[3094] nadorp2009-12-02 08:52:48

Nem tudom mit szólnának hozzá egy számelmélet vizsgán

"...ergó n|mx, mivel m prím, ezért n|x"

1) ha \frac{m^mx^m}n egész, akkor csak az következik, hogy n|mmxm. Az állításod első fele csak akkor igaz ha n prím ( 12|33.143, de 12|3.14)

2) 18|3.30, mivel 3 prím ezért 18|30 ?????????????

Előzmény: [3092] bily71, 2009-12-01 12:02:44
[3093] bily712009-12-01 14:21:22

Persze abból, hogy n|x, még nem következik, hogy m|a, csak érdekesnek találtam, így leírtam. Egyébként, ha m=2, akkor igaz minden esetben, hogy 2|a, mivel a és b közül az egyik páros, és igazából nincs jelentősége annak, hogy a két négyzetszám közül, amelyek összege is négyzetszám, melyiket jelöljük a-val, jelölhetjük mindig a párosat.

Előzmény: [3092] bily71, 2009-12-01 12:02:44
[3092] bily712009-12-01 12:02:44

Folytatva:

am+(n+mx)m=(n+a)m

a^m+n^m+\binom{m}{1}n^{m-1}m^1x^1+...+\binom{m}{m-1}n^1m^{m-1}x^{m-1}+m^mx^m=a^m+\binom{m}{1}a^{m-1}n+...+\binom{m}{m-1}a^1n^{m-1}+n^m

\binom{m}{1}n^{m-1}m^1x^1+...+\binom{m}{m-1}n^1m^{m-1}x^{m-1}+m^mx^m=\binom{m}{1}a^{m-1}n+...+\binom{m}{m-1}a^1n^{m-1}

\binom{m}{1}n^{m-2}m^1x^1+...+\binom{m}{m-1}m^{m-1}x^{m-1}+\frac{m^mx^m}{n}=\binom{m}{1}a^{m-1}+...+\binom{m}{m-1}a^1n^{m-2}

A jobb oldali tört elötti, és a bal oldali összeg értéke egész, ebből következik, hogy a tört értéke is egész, ergó n|mx, mivel m prím, ezért n|x. Tehát

am+(n(my+1))m=(n+a)m

Előzmény: [3087] bily71, 2009-11-30 23:38:47
[3089] bily712009-11-30 23:59:25

Ezek pedig nem csupa páros pithagoraszi számhármasok, miért következne abból, hogy m=2|a, hogy mind páros? Már félek bármit is írni, annyira szigorúan bántok velem...

Előzmény: [3088] bily71, 2009-11-30 23:52:21
[3088] bily712009-11-30 23:52:21

Legyen m=2,a=4,x=1,n=1, ekkor

am+(n+mx)m=(n+a)m

42+(1+(2.1)2=(1+4)2,

vagy m=2,a=12,x=2,n=1, ekkor

122+(1+2.2)2=(1+12)2.

Tehát m=2, és igaz! Én erre gondoltam.

Előzmény: [3087] bily71, 2009-11-30 23:38:47
[3087] bily712009-11-30 23:38:47

Tehát a következő gondolatmenet hamis állításokból áll?

am+(n+mx)m=(n+a)m

(n+a)m\equivnm(mod a)

am+(n+mx)m\equiv(n+mx)m(mod a)

(n+mx)m\equivnm(mod a)

(n+mx)^m=\binom{m}{0}n^m+\binom{m}{1}n^{m-1}m^1x^1+...+\binom{m}{m-1}n^1m^{m-1}x^{m-1}+\binom{m}{m}m^mx^m

\binom{m}{0}n^m+\binom{m}{1}n^{m-1}m^1x^1+...+\binom{m}{m-1}n^1m^{m-1}x^{m-1}+\binom{m}{m}m^mx^m\equiv{n^m}(\mod{a})

\binom{m}{1}n^{m-1}m^1x^1+...+\binom{m}{m-1}n^1m^{m-1}x^{m-1}+\binom{m}{m}m^mx^m\equiv0(\mod{a})

A bal oldali összeg minden tagja osztható m-el, és az összeg a-val osztva 0-át ad maradékul, ebből nem következik, hogy m|a? És ha nem, akkor miért?

Előzmény: [3085] SAMBUCA, 2009-11-30 21:08:02
[3086] rizsesz2009-11-30 23:00:07

kedves bily71. ilyenkor alapjaiban remeg meg az a hite az embernek, hogy van bármiféle közöd a matematikához.

hogy lehet egy ilyen kérdést feltenni úgy, hogy tudod, hogy sosem igaz az adott állítás? :(

Előzmény: [3083] bily71, 2009-11-30 20:28:42
[3085] SAMBUCA2009-11-30 21:08:02

ajánlanám: ezt

és egy idézet: "Ha 1 + 1 \neq 2, akkor én vagyok a római pápa."

Előzmény: [3083] bily71, 2009-11-30 20:28:42
[3084] SAMBUCA2009-11-30 21:00:51

m=2: nem igaz, van nem csupa páros pithagoraszi számhármas

m>2: igaz, sőt az is, hogy m nem osztója a-nak!!!

Előzmény: [3083] bily71, 2009-11-30 20:28:42
[3083] bily712009-11-30 20:28:42

A feladat folytatása: igaz-e, hogy m|a?

Előzmény: [3063] bily71, 2009-11-27 22:41:08
[3082] SmallPotato2009-11-30 20:14:27

Legyen n páratlan; ekkor van olyan összekötő szakasz, amely a négyzet oldalaival 45°-os szöget zár be és a származtatás (BD-re vonatkozó) szimmetriája miatt E-ben érinti a szóban forgó burkológörbét. Ha ez a szakasz AB-n az A ponttól a k-adik osztópontból indul, akkor a a másik végpontja a származtatás értelmében BC-n a B-től a k+1-edik osztópont. A 45° miatt viszont ez C-től a k-adik osztópont. A BC szakasz két darabjából tehát 2k+1=n. Ha mármost n a végtelenhez tart, akkor \lim_{n\to\infty}\frac k n=\frac12, tehát a jelzett szakasz határhelyzetben AB és BC felezőpontjait köti össze. Az E pont ezek szerint negyedeli a BD átlót.

Előzmény: [3075] bily71, 2009-11-29 18:21:36
[3081] jenei.attila2009-11-30 10:13:42

Induljunk ki a 2 és 17 prímekből...

Előzmény: [3080] bily71, 2009-11-30 09:29:04
[3080] bily712009-11-30 09:29:04

Szerintem, ha az 5-ös nem szerepel a kiinduló prímek közt, akkor később sem fog szerepelni.

Előzmény: [3058] RRichi, 2009-11-27 21:45:31
[3079] jonas2009-11-30 08:33:27

Ez a kedvenc számrejtvényem. itt van rá megoldás.

24=3.(14-6)

Előzmény: [3074] Janosov Milán, 2009-11-29 17:27:54
[3078] rizsesz2009-11-29 20:31:47

6:(1-3/4) húhh.

Előzmény: [3077] Janosov Milán, 2009-11-29 19:24:07
[3077] Janosov Milán2009-11-29 19:24:07

A feladat csak a négy alapműveletet engedi, ebben, hogy nem volt teljesen egyértelmű; de így érdekesebb (*, /, +, - és zárójelek).

Előzmény: [3076] R.R King, 2009-11-29 18:37:31

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]