Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3433] Mumin2011-04-01 16:38:22

Egy újabb tipp, az állóvíz felkavarása céljából:

A(99!!!,9)

Előzmény: [3400] Tassy Gergely, 2010-12-30 23:29:00
[3432] Lóczi Lajos2011-02-21 13:59:15

Valóban, ennél "jobb" feltételt szerintem nem lehet találni.

Előzmény: [3431] Róbert Gida, 2011-02-18 16:31:25
[3431] Róbert Gida2011-02-18 16:31:25

f(x,0)=g(x)h(0) és f(0,y)=g(0)h(y), innen, ha teljesül a feltétel és g(0)h(0)\ne0, akkor f(x,y)=\frac {f(x,0)f(0,y)}{g(0)h(0)}, azaz f(x,y)=Cf(x,0)f(0,y), ahol C konstans. Megfordítva, ha ez utóbbi feltétel teljesül, akkor van alkalmas g,h függvényünk: g(x)=Cf(x,0) és h(y)=f(0,y)

Előzmény: [3428] Lóczi Lajos, 2011-02-12 04:02:26
[3430] Lóczi Lajos2011-02-18 14:02:42

Az a szép, hogy olyan feltételt is lehet találni, amelyben egyáltalán nincs deriválás.

Előzmény: [3429] nadorp, 2011-02-18 08:22:52
[3429] nadorp2011-02-18 08:22:52

Első körben, kellően szép függvényt feltételezve (ln |f(x,y)|)xy=0 vagy (ln |f(x,y)|)yx=0

Előzmény: [3428] Lóczi Lajos, 2011-02-12 04:02:26
[3428] Lóczi Lajos2011-02-12 04:02:26

Adjunk (minél egyszerűbb és jól kezelhető) feltételt arra nézve, hogy egy f kétváltozós függvény mikor áll elő f(x,y)=g(x)h(y) alakban, alkalmas egyváltozós g és h függvényekkel.

[3427] jonas2011-01-26 21:43:17

Az 513. feladathoz először lássunk be egy rekurziót az U mátrix elemeire. Ez a C mátrixnál segített, tehát gondolhatjuk, hogy itt is beválik. Az összefüggés az lesz, hogy

un+1,k=2un,k-1-un-1,k

feltéve, hogy 1\lek. A k=0 esetre egyszerűen un+1,k=un-1,k. Ez egyszerűen abból következik, hogy a másodfajú Csebisev-polinomokra igaz a következő rekurzió.

Un+1(x)=2xUn(x)-Un-1(x)

Lássuk be ez utóbbit. Helyettesítsünk be x=cos \theta-t. (Hogy így esetleg nem minden x kapható meg, az lényegtelen, mert mindkét oldal polinom, tehát elég csak egy intervallumon belátni, hogy egyenlők.) Szorozzuk meg mindkét oldalt sin \theta-val. Így a következő azonosságot kell belátnunk.

sin ((n+2)\theta)=2cos \thetasin ((n+1)\theta)-sin (n\theta)

Ehhez pedig csak használjuk a sin (\alpha+\beta)=sin \alphacos \beta+sin \alphacos \beta képletet. Valóban:

sin ((n+2)\theta)=cos (2\theta)sin (n\theta)+sin (2\theta)cos (n\theta)=(-1+2cos2\theta)sin (n\theta)+2sin \thetacos \thetacos (n\theta)=

=2cos \theta(sin \thetacos (n\theta)+cos \thetasin (n\theta))-sin (n\theta)=2cos \thetasin ((n+1)\theta)-sin (n\theta).

Innen már megpróbálhatjátok ti kitalálni az 513. bizonyítását – az eredményt megsejteni könnyű, csak ki kell számolni kis értékekre.

Előzmény: [3368] jonas, 2010-11-23 22:19:07
[3426] jonas2011-01-24 20:13:24

Akkor PAL érdeklődésére tekintettel nézzük meg ezeket a feladatokat.

Kezdjük az 512. feladattal. Stray dog már elárulta a megoldást: a determináns 1. Ezt nem is nehéz belátni: detH=det(CCT)=(detC)2. Csakhogy C háromszögmátrix, mivel ha 0\len<k, akkor n-k<0 és n-k-2<0, így


\binom{n}{(n-k)/2} = \binom{n}{(n-k-2)/2} = 0,

tehát a C mátrix főátló fölötti elemei valóban nullák. Hasonlóan, ha 0\len=k, akkor


\binom{n}{(n-k)/2} = \binom{n}{0} = 1,

viszont


\binom{n}{(n-k-2)/2} = \binom{n}{-1} = 0,

így hát cn,k=1, tehát a mátrix főátlójában egyesek állnak. Ebből aztán detC=1 tehát valóban detC=1.

Mindezt persze akkor lehet könnyen megsejteni, ha előbb valamilyen kis N méretre konkrétan kiszámoljuk a mátrixot. Például ha N=12, akkor


{\bf C} = \left(\matrix{
1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\cr
0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\cr
1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\cr
0&2&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\cr
2&0&3&0&1&0&0&0&0&0&0&0\cr
0&5&0&4&0&1&0&0&0&0&0&0\cr
5&0&9&0&5&0&1&0&0&0&0&0\cr
0&14&0&14&0&6&0&1&0&0&0&0\cr
14&0&28&0&20&0&7&0&1&0&0&0\cr
0&42&0&48&0&27&0&8&0&1&0&0\cr
42&0&90&0&75&0&35&0&9&0&1&0\cr
0&132&0&165&0&110&0&44&0&10&0&1
}\right);


{\bf H} = \left(\matrix{
1&0&1&0&2&0&5&0&14&0&42&0\cr
0&1&0&2&0&5&0&14&0&42&0&132\cr
1&0&2&0&5&0&14&0&42&0&132&0\cr
0&2&0&5&0&14&0&42&0&132&0&429\cr
2&0&5&0&14&0&42&0&132&0&429&0\cr
0&5&0&14&0&42&0&132&0&429&0&1430\cr
5&0&14&0&42&0&132&0&429&0&1430&0\cr
0&14&0&42&0&132&0&429&0&1430&0&4862\cr
14&0&42&0&132&0&429&0&1430&0&4862&0\cr
0&42&0&132&0&429&0&1430&0&4862&0&16796\cr
42&0&132&0&429&0&1430&0&4862&0&16796&0\cr
0&132&0&429&0&1430&0&4862&0&16796&0&58786\cr
}\right).

Most nézzük az 511. feladatot. Erre van egy nagyon érdekes kombinatorikus bizonyítás.

Először lássunk be egy rekurziót a C mátrix elemeire. Vegyük észre, hogy ha 0\len és 0<k, akkor cn+1,k=cn,k-1+cn,k+1; ha pedig 0\len, akkor cn+1,0=cn,1. Szóban ez azt jelenti, hogy a mátrixban minden elem a fölötte balra lévő és a fölötte jobbra lévő elem összege, de ha nincs fölötte balra lévő elem, akkor egyszerűen a fölötte jobbra lévő elemmel egyenlő.

Azt, hogy ez a rekurzió igaz, nem nehéz belátni, egyszerűen be kell írni a definíciót. Nézzük először az első esetet: legyen 0\len és 0<k. Ha n-k páratlan, akkor


c_{n+1,k} = \binom{n+1}{(n-k+1)/2} - \binom{n+1}{(n-k-1)/2} =


= \left(\binom{n}{(n+k+1)/2} + \binom{n}{(n+k+1)/2-1}\right) - 
\left(\binom{n}{(n+k-1)/2} + \binom{n}{(n+k-1)/2-1}\right) =


= \left(\binom{n}{(n+k-1)/2} - \binom{n}{(n+k-3)/2}\right) + \left(\binom{n}{(n+k+1)/2} - \binom{n}{(n+k-1)/2}\right) = 
c_{n,k-1} + c_{n,k+1};

ha viszont n-k páros, akkor cn+1,k=0=cn,k-1+cn,k+1. A második esetben, ha 0\len, akkor


c_{n+1,0} = 
\binom{n+1}{(n+1)/2} - \binom{n+1}{(n-1)/2} =


= \left(\binom{n}{(n+1)/2} - \binom{n}{(n+1)/2-1}\right) +
\left(\binom{n}{(n-1)/2} - \binom{n}{(n-1)/2-1}\right) =


= \binom{n}{(n+1)/2} - \binom{n}{(n-3)/2} =
\binom{n}{(n-1)/2} - \binom{n}{(n-3)/2} =
c_{n, 1}

(Egy kis csalás van itt: szó szerint ennek a szabálynak a mátrix jobb szélén nincs értelme, de szerencsére tekinthetjük a mátrixot a végtelen nagy mátrix sarkának, úgyhogy igazából nincs probléma.)

Most a meglepő észrevétel az, hogy a C mátrix elemeinek kombinatorikai jelentést lehet tulajdonítani. A cn,k elem ugyanis pontosan azt számolja le, hányféleképpen lehet n lépést tenni a számegyenesen az origóból úgy, hogy minden lépésben egyet balra vagy egyet jobbra lépünk, nem lépünk rá a negatív félegyenesre, és a végén a k-ba érkezünk. Azt, hogy valóban ezt számoljuk le, nem nehéz látni a fenti rekurzió alapján.

Vegyük most szemügyre ezt a képletet, ami szerepelt a kitűzésben: ha 0\lem,n akkor


h_{m,n} = \sum_{0\le k} c_{m,k}c_{n,k}.

Azt állítom, hogy hm,n éppen azt számolja le, hányféleképpen lehet a számegyenesen m+n lépés hosszú sétát tenni úgy, hogy az origóból indulunk és oda is érünk vissza, minden lépésben eggyel jobbra vagy eggyel balra lépünk, és sose lépünk a negatív félegyenesre. Valóban, legyen ugyanis k az a szám, ahol az m-edik lépésben lépünk. Ekkor az első m lépés cm,k féle lehet a c fent megadott értelmezése szerint. Másrészt az utolsó n lépés éppen cn,k féle lehet, mert ha ezt az utolsó n lépést visszafele játsszuk le, akkor az origóból indulunk, és a végén érünk a k-ba. Az is látható, hogy az első m és az utolsó n lépést egymástól függetlenül választhatjuk meg akárhogyan, ha már k értékét rögzítettük, minden lehetőséghez tartozik pontosan egy m+n lépéses séta. Így megkaptuk, hogy hm,n egyenlő az m+n hosszú, origóba érkező séták számával, ami tényel m+n függvénye.

Az 513. feladatot egyelőre nem lövöm le.

Előzmény: [3368] jonas, 2010-11-23 22:19:07
[3425] m2mm2011-01-23 17:01:59

523. feladat Egy egész együtthatós, normált polinom minden(komplex) gyökének abszolút értéke 1. Biz.: gyökei egységgyökök.

[3424] PAL2011-01-21 19:48:57

Kedves Tamás!

Remélem nem haragszol, hogy csatlakozom, de örömmel látom a feladatod, mert örülök annak, hogy téged is érdekelnek az efféle témák, az utóbbi hozzászólásokban kezd népszerű lenni ez a sin(nx) kifejtős téma, mely valahogy az én kedvencemmé is vált az utóbbi időben, ezért én is kiváncsian várom kitűzött feladatodra érkező megoldásokat.

Előzmény: [3423] D. Tamás, 2011-01-21 19:20:26
[3423] D. Tamás2011-01-21 19:20:26

522.feladat: Határozzuk meg azokat a pozitív egész n számokat, melyre sin (nx) felírható sin (x) polinomjaként!

Gondolom felsőbbéveseknek közismert ez a feladat, de én nemrég találkoztam egy feladat kapcsán ezzel a gyönyörűséggel. (Persze ha valaki komoly "fegyverekkel" rendelkezik pillanatok alatt kijön a megoldás.)

[3422] Lóczi Lajos2011-01-19 06:15:13

Egy valós függvény a 0 körül lokálisan invertálható, ha van olyan \delta>0 szám, hogy a függvény leszűkítése a [-\delta,\delta] intervallumra invertálható.

Valamely rögzített \alpha valós szám esetén tekintsük az f(x):=\alpha x+x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) (ha x\ne0) függvényt, és legyen f(0):=0.

521. feladat. Adjuk meg az összes olyan \alpha valós számot, amelyre a fenti f függvény a 0 körül lokálisan invertálható.

[3421] lorantfy2011-01-15 21:03:57

520.feladat: Egy 24 órás, szokásos irányban járó és egy 12 órás, fordított számlapos, visszafelé járó falióra egymás mellett függenek. Mindkettő pontosan jár. A két órát egyszerre indítva nulla óráról mennyi idő múlva lesznek az órák percmutatói és óramutatói is párhuzamosak egymással és mennyi idő múlva lesznek merőlegesek egymásra?

[3420] Róbert Gida2011-01-07 17:48:49

A multifaktoriális amit írsz az megint különböző dolog, (iterált) faktoriálisról beszéltünk.

Előzmény: [3418] patba, 2011-01-07 17:21:26
[3419] Róbert Gida2011-01-07 17:45:06

Persze, akár én is írhatnék egy ilyen programot ami úgy számolja ki, ahogy te szeretnéd. A szebb az lenne, ha már egy létező compteralgebra program is így számolná ki.

A ^ és ! műveleti sorrendje meg programfüggőnek tűnik, ahogy írtam a PARI-GP-nél és a Maple-nél például különböző.

Előzmény: [3418] patba, 2011-01-07 17:21:26
[3418] patba2011-01-07 17:21:26

Ha mindkét program egy-egy sajátosságát(nincs multifaktoriális és hatvány nem alsóbbrendűbb, mint a faktor) felhasználva készítünk egy programot, az úgy fogja kiszámolni. Nem tudom, hogy létezik-e jelenleg ilyen program, de semmi sem zárja ki.

Viszont akkor a faktoriális, vagy a hatvány élvez előnyt műveleti sorrend szerint? Ez most már nem világos számomra.

Előzmény: [3417] Róbert Gida, 2011-01-07 16:48:13
[3417] Róbert Gida2011-01-07 16:48:13

Igen, de nálunk több faktoriális is van, például 22!!!-et három különböző programmal néztem meg, és egyik sem adja meg a (24!)! értéket, így egyik sem számol úgy ahogy azt te szeretnéd.

A probléma hasonló ahhoz, hogy abc kifejezést hogyan értékeljük ki: ä(bc) vagy (ab)c ként.

Előzmény: [3416] patba, 2011-01-07 15:28:49
[3416] patba2011-01-07 15:28:49

Leírtad egy hozzászólásban (jó gúnyosan), hogy a Mapple a hatványozást magasabb rendű műveletként kezeli, mint a faktoriálist, és neked csak és kizárólag egy program által igazolt összefüggés elfogadható ilyen téren.

Vagy most mire gondolsz?

Előzmény: [3415] Róbert Gida, 2011-01-07 13:41:00
[3415] Róbert Gida2011-01-07 13:41:00

Úgy látszik, hogy a műveleti sorrend (precedencia) csak nekem fontos.

Azt azért megkérdezhetem, hogy ezt manapság nem tanítják ált. iskolákban, gimnáziumokban? +,*-ra gondolok most.

Előzmény: [3407] patba, 2010-12-31 13:16:22
[3414] djuice2011-01-02 00:57:23

Besz@rok! :) Nem tudom elképzelni mit tököltem ezen fél órákat a felírással, hisz csak a mérleg elvet kell alkalmazni a feladat szövegének megfelelően. Mindegy, már megint bebizonyosodott, hogy mindig a bonyolultabbik oldalról közelítem a pofon egyszerű dolgokat. :)

(próbálkozva vmi ilyesmiket akartam felírni I. A-B=2; II. 2AB-B=0 persze hogy nem jó!)

Köszönöm szépen amúgy, már muszáj lesz vmi. tanárt fogadni magam mellé is. :)

Előzmény: [3411] Nánási József, 2011-01-01 11:11:39
[3413] Füge2011-01-01 22:09:54

n\ge22 esetén 9n<n! ezért én is a 99!!!!!!!!-re szavazok

[3412] ibiro2011-01-01 21:23:43

Erről mi a véleményetek 9^{9^{9^{9^{9^{9^{9^{9^{9^{9}}}}}}}}} ?

Előzmény: [3405] Tassy Gergely, 2010-12-31 12:48:41
[3411] Nánási József2011-01-01 11:11:39

Ha jól értem, egyenleteket akarsz?

Legyen x fiókunk.

Akkor az első esetbe a könyvek száma y=x+2

Második esetben pedig a könyvek száma y=2x-1

Ebből jön, hogy x=3 y=5

3 fiók és 5 könyv

bocsánat ha félre értettem a kérdésed.

Előzmény: [3410] djuice, 2011-01-01 01:55:15
[3410] djuice2011-01-01 01:55:15

Elnézést hogy ilyen gyermeteg feladvánnyal zavarok, de miközben fejben találgatva fél perc alatt rá lehet jönni a megoldásra, addig egyenletekkel felírni nekem nem sikerült az alábbi feladatot. :( (haverom 2.-os középsulis öccsének van feladva háziként!)

"Pista könyveit pakolja. Ha 1 könyvet 1 fiókba rak el, 2 könyvének már nem jut hely. Ha 1 fiókba 2 könyvet tesz, az utolsó fiókban már csak 1 könyv lesz. Hány könyve van Pistának?"

Első verzióra A-B=2 alakot tudtam felírni, de a 2. esetet sehogy sem tudjuk felírni. Igazából az érdekelne, miként kell gondolkodni a helyes felírást illetőleg?

Köszönöm!

[3407] patba2010-12-31 13:16:22

Igen, mert akkor a ! a kitevőbe kerül be. Ha nem a kitevőbe rakod, akkor 8!-nak kéne, hogy értelmezze. Megint oda jutottunk, ahol az előbb voltunk. Programnak ahhoz, hogy ne a kitevőben legyen, kell zárójel, kézírásban nem.

Előzmény: [3403] robertgidatestvere, 2010-12-31 12:37:34

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]