Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3771] Micimackó2013-08-07 13:22:20

Megsúlyozzuk a mezőket, hogy egy érme mindig egyet érjen. Így 4 mező van, amiből 2-t akarunk üresen és két érmét akarunk a Fálesz verzióban, így ez nem lehet. A b) résznél még a szélső sorra és oszlopra is figyelni kell, mert ott is marad kis plusz üres terület és így nem lesz elég hely.

Előzmény: [3768] w, 2013-08-02 22:28:38
[3770] w2013-08-03 14:03:32

Egyetértek, csak az eredeti feladatot akartam kitűzni. Lehetne bőven variálni a dolgokat: keressünk kezdő- és célhelyzeteket az (x,y)\to (x+n,y), (x,y+n) operációra (előbbiből leveszünk, utóbbiakra rárakunk egy-egy zsetont) stb.

Megkérdezném (a feladatot még nem gondoltam át): az (x,y)\to (x+1,y+1), (x-2,y-1) hasonló változatban legalább hány zsetont kell {(x,y): x,y egész} halmazra rakni, hogy sehogy se lehessen elérni, hogy mondjuk az (1,1)(1,10)(10,10)(10,1) négyzetben ne legyen zseton.

Előzmény: [3769] Fálesz Mihály, 2013-08-03 05:45:44
[3769] Fálesz Mihály2013-08-03 05:45:44

Nem értem, hogy az (a) rész miért ennyire bonyolult. Szerintem elég lenne három pont: (0,0), (1,0) és (0,1). Ha kezdetben csak ezeken van zseton, akkor akárhány lépés után is lesz legalább az egyiken.

Előzmény: [3757] w, 2013-07-27 22:52:42
[3768] w2013-08-02 22:28:38

Igen, de miért "nem férnek el"?

Előzmény: [3767] Micimackó, 2013-08-02 21:06:06
[3767] Micimackó2013-08-02 21:06:06

Nekem úgy tűnik nem lehet, mert nem férnek el. Az első bőven nem fér el (nem is marad elég hely a táblán), a másodikhoz már lenne elég hely, de nincs jól elosztva. Úgyhogy szerintem nem lehet.

Előzmény: [3757] w, 2013-07-27 22:52:42
[3766] w2013-08-01 13:22:40

y=t\sqrt3

cosinustétel miatt ábra

T=\frac{xt*1/2}2+\frac{zt}2+\frac{xz*\sqrt3/2}2=4*3/2

(sinustétel)

4\sqrt3T=24\sqrt3=xy+2yz+3xz

Előzmény: [3765] Lóczi Lajos, 2013-08-01 11:04:27
[3765] Lóczi Lajos2013-08-01 11:04:27

A célkifejezés négyzete azonosan egyenlő a nullára rendezett feltételi egyenletek egy másodfokú polinomjával. A konstans tag 1728-nak adódik, innen egy gyökvonás.

Előzmény: [3762] w, 2013-07-31 12:57:17
[3764] w2013-08-01 10:39:30

Többnyire. Geometriai megfontolások teendők; legyen y2/3=t2, t>0 \implies y2/3+z2=t2+z2=32 Pitagorasz-tétel. A többi már egyértelmű.

Előzmény: [3763] rizsesz, 2013-07-31 15:34:52
[3763] rizsesz2013-07-31 15:34:52

Egy haromszog es az izogonalis pontja.

Előzmény: [3758] w, 2013-07-29 14:59:01
[3762] w2013-07-31 12:57:17

És a bizonyítás (computer algebra nélkül)?

Előzmény: [3761] Lóczi Lajos, 2013-07-31 12:05:29
[3761] Lóczi Lajos2013-07-31 12:05:29

24\sqrt{3}.

Előzmény: [3758] w, 2013-07-29 14:59:01
[3760] w2013-07-30 21:24:23

Nem onnan vettem.

Előzmény: [3759] jonas, 2013-07-30 21:01:28
[3759] jonas2013-07-30 21:01:28

Ez a feladat ismerős. Nem szerepel véletlenül Csákány Béla: Diszkrét matematikai játékok könyvében?

Előzmény: [3757] w, 2013-07-27 22:52:42
[3758] w2013-07-29 14:59:01

Más. Legyen x,y,z>0. Tudjuk, hogy x^2+xy+\frac {y^2}3=25, \frac{y^2}3+z^2=9, z2+zx+x2=16.

Számítsuk ki xy+2yz+3zx értékét.

[3757] w2013-07-27 22:52:42

Egy további érdekes, hasznos, de nem annyira közismert feladat a Városok Viadaláról (1981):

Az első síknegyed rácspontjaira rakunk zsetonokat. Kezdetben (a) az origóban, az (1,0) és (0,1) és (1,1) és (0,2) és (2,0) pontokban van egy-egy zseton, (b) csak az origóban van zseton.

Egy lépésben az (x,y) rácspontból elveszünk egy zsetont - ha az (x+1,y) és (x,y+1) pontokban nincsen - majd utána az (x+1,y) és (x,y+1) pontokra rakunk egyet-egyet.

Elérhetjük-e az (a), illetve (b) esetben, hogy az (a) esetben megnevezett mezők egyikében sem szerepeljen zseton?

[3756] w2013-07-27 21:50:03

Igen, ez a megoldás! (Kicsit megelőztél...)

Előzmény: [3754] Róbert Gida, 2013-07-27 21:46:59
[3755] w2013-07-27 21:47:12

Állítás. Létezik c és d konstans a következő tulajdonsággal: tetszőleges a, b pozitív egész számpárhoz létezik pozitív egészekből álló m1,m2,...,mk számsorozat, melyre k<c.ln a+d és

1+\frac a b=\prod_{\ell=1}^k \left(1+\frac1{m_\ell}\right).

Ha igaz, próbáljunk minél kisebb c és d konstansokat keresni, ha hamis, akkor adjunk ellenpéldá(ka)t.

[3754] Róbert Gida2013-07-27 21:46:59

k\le 2*(\frac {\ln a}{\ln 2}+1)-re teljesül az állítás! Könnyen látható, hogy: \frac ab=\prod_{i=0}^{a-1}(1+\frac {1}{b+i}), itt a nevezők egymásutáni egészek; ezt fogjuk használni, hogy rövidebb szorzatot találjunk: vegyü észre, hogy (1+\frac{1}{2k})(1+\frac{1}{2k+1})=1+\frac 1k. Ezt az azonosságot alkalmazzuk az (első szinten), ekkor legfeljebb 2 tag marad ki a szorzatból (az első és az utolsó), míg az új 1+\frac 1k tagokban k egészek itt is egymásutáni egészek lesznek. Így ezt az azonosságot iterative tudjuk újra alkalmazni. Ha 2t-1\lea<2t akkor t szint van és minden szinten megmarad legfeljebb 2 tag, azaz összesen legfeljebb 2t tag, de (t-1)ln 2\leln a, innen triviálisan kapjuk a bizonyítandót.

Előzmény: [3748] w, 2013-07-27 14:47:25
[3753] Róbert Gida2013-07-27 20:35:11

Nem értelek. A feladatod "értelmes" volt, azaz jól kitűzött; úgy szólt, hogy igazoljuk vagy cáfoljuk. Én pedig cáfoltam.

Előzmény: [3752] w, 2013-07-27 20:19:56
[3752] w2013-07-27 20:19:56

Jó, bocs, ez most kicsit sötét volt :-)

Kérlek akkor nézz utána a>1 esetének, vagy módosítsd a feladatot úgy hogy értelmes legyen. Felkérlek arra, hogy tégy hozzá valami építő jellegűet is.

Előzmény: [3751] Róbert Gida, 2013-07-27 20:04:10
[3751] Róbert Gida2013-07-27 20:04:10

Egyszer majd nézz utána ln(1) értékének.

Előzmény: [3750] w, 2013-07-27 19:50:38
[3750] w2013-07-27 19:50:38

A c=1,001/(ln 1) konstans a példádra megfelel.

Előzmény: [3749] Róbert Gida, 2013-07-27 16:29:13
[3749] Róbert Gida2013-07-27 16:29:13

Cáfolom, legyen a=1 és b tetszőleges.

Előzmény: [3748] w, 2013-07-27 14:47:25
[3748] w2013-07-27 14:47:25

Állítás: Létezik c konstans a következő tulajdonsággal: tetszőleges a, b pozitív egész számpárhoz létezik pozitív egészekből álló m1, m2, ..., mk számsorozat, melyre k<c.ln a és

1+\frac a b=\prod_{\ell=1}^k \left(1+\frac1{m_\ell}\right).

Igazoljuk vagy cáfoljuk.

[3747] w2013-07-02 07:25:35

Én leginkább erre gondoltam (5. feladat). Lineáris algebrából kb. semmit sem tudok, de úgy látszik, hogy a te megoldásodat írták át elemire. Van viszont lin. algebrakönyvem, előbb-utóbb belenézek. Elnézést a késő válaszért.

Üdv.: w

Előzmény: [3746] jonas, 2013-06-21 21:08:33

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]