[293] Sirpi | 2004-03-25 15:10:41 |
Megjegyzés a 65. feladathoz:
A kitűzésnél 0<x</4 volt, de az állítás igaz (és a bizonyítás is megy) 0<x</2-re. Sőt több is igaz:
Beláttuk, hogy ha x hegyesszög, akkor x legfeljebb a sin x és tg x számtani közepe lehet. Ez viszont igaz számtani helyett harmonikus középre is, amivel élesebb becslést kapunk:
S
|
Előzmény: [292] nadorp, 2004-03-25 13:34:34 |
|
|
[291] lorantfy | 2004-03-24 13:26:07 |
Kedves Zoltán!
Kösz a figyelmeztetést. Neked jobb a memóriád, én nem emlékeztem rá. Ráadásul a megoldásban utalnak az általános megoldhatóság feltételére is. Azért remélem lesz olyan, aki ettől függetlenül megcsinálja.
|
Előzmény: [290] SchZol, 2004-03-24 12:32:51 |
|
|
[289] Csimby | 2004-03-24 00:40:29 |
65.feladat Bizonyítsuk be, hogy ha 0<x</4, akkor x<(tgx + sinx)/2.
66.feladat Bizonyítsuk be, hogy tg 1°, sin 1°, cos 1° irracionális.
67.feladat (a+b+c)x2-2(ab+bc+ac)x+3abc=0 és 0<a<b<c Bizonyítsuk be, hogy az egyenlet egyik gyöke a és b közé a másik pedig b és c közé esik.
A feladatok a Nemzetközi Magyar Matematikai Versenyen voltak kitűzve, úgyhogy aki volt az ismeri a megoldásokat aki nem, annak meg jó szórakozást.
|
|
[288] lorantfy | 2004-03-23 22:56:49 |
Kedves Károly és Fórumosok!
Éppen ideje volt már „földobni” ezt a témát! Ezt a feladatot én is hallottam már többféle változatban, cipókkal, tojásrántottával, de fahasábokkal és spórral még nem. Bennem meleg elmékeket kelt az utóbbi, de sokan szerintem már azt sem tudják mi az. ( Spór = spórhelt = sparhert = takaréktűzhely )
64. feladat: Valaki dombos úton kerékpárral ment A helyről B-be majd ugyanott vissza. Vizszintes úton v = 16 km/h, lefelé u = 24 km/h, felfelé pedig w = 12 km/h sebességgel haladt. Oda-vissza összesen 3 órát kerékpározott. Mekkora az AB távolság?
Akinek ez nagyon könnyű lenne:
64.b feladat: Milyen 60 km/h > u > v > w egész számokra van a feladatnak egyértelmű megoldása?
|
Előzmény: [287] Hajba Károly, 2004-03-22 15:19:25 |
|
[287] Hajba Károly | 2004-03-22 15:19:25 |
Üdv Mindenki!
Felhozandó a Téma bedobok egy ide illő és egyszerű, akár az "Ujjgyakorlatok"-ba is illő 63. feladatot:
Három barátnő főzéshez készül, az egyik 5 db fát, a másik 3 db fát hozzott a spórba és így mindhármójuk megfőzött. A harmadik, mivel nem volt tüzifája, 8 forinttal járult hozzá a tüzifa költségekhez. A másik két barátnő milyen arányban osztozik igazságosan a pénzen?
HK
|
|
[286] Csimby | 2004-03-05 13:17:08 |
Kedves Gyuri!
Megköszönném!
|
|
[285] Gyuri | 2004-03-05 12:16:51 |
Kedves Csimby!
A 60. feladathoz irt kerdesedre a valasz: Lehet jobbat talalni, megpedig 21/36 a legnagyobb nyeresi esely Andris szamara. Hogyan lehet bizonyitani? Most nincs nalam, de egy rovidke C progival vegigneztem a lehetosegeket. Ha erdekel, elkuldhetem emailben.
Udv: Gyuri
|
Előzmény: [275] Csimby, 2004-02-26 21:13:06 |
|
[284] pragmaP | 2004-03-03 19:46:57 |
Kedves László!
Köszönöm, hogy felhívtad a figyelmem az elegánsabb megoldásra. Én a és a arányából jöttem rá, hogy egyenlőszárú derékszögű háromszöget kell valahol találnom.
|
|
[283] lorantfy | 2004-03-02 20:11:49 |
Kedves Tamás!
Örülök, hogy beírtad a megoldást – én nem mondtam, hogy nem kell megoldani, csak, hogy emlékeztet egy másik példára. Különösen a jó ábrákat imádom – és ez is az!
Ha jól megnézed, kiderül, hogy a szög megállapításához nem szükséges kiszámolni az átfogókat, elegendő az 1-2 befogójú derékszügű -ek egybevágóságára hivatkozni. Ezért is szeretik ezt a példát és variációit a 7. osztályos versenyfeladatokba berakni.
|
Előzmény: [282] pragmaP, 2004-03-02 18:13:30 |
|
[282] pragmaP | 2004-03-02 18:13:30 |
62. feladat megoldása
Sajnálom, hogy már volt, de azért, ha már lerajzoltam, elküldöm.
A Pithagorasz-tételből ED= és EC==. Tükrözzük AED háromszöget E pontra! Így ED'=. Ha be tudom bizonyítani, hogy D'C is , akkor ED'C egy egyenlőszárú derékszögű háromszög, ezért 45-°osak az alapon fekvő szögei. Ebből =135°.
A fentinek bizonyítása: BP=1, ha a D'P-t AB-vel párhuzamosan húztam. EA'=2, így A'B=1, ezért D'C=
|
|
Előzmény: [280] lorantfy, 2004-03-02 11:33:04 |
|
|
|
[279] nadorp | 2004-03-02 08:26:12 |
Kedves László !
Gratula,nagyon elegáns a megoldás. Hetedikes fiam hozta a következő példát.
62.feladat: Az ABCD téglalapban AB=5,BC=1. Az AB oldal olyan belső pontja E, melyre AE:EB=2:3. Határozzuk meg szögfüggvények használata nélkül a CED szöget.
|
|
[278] lorantfy | 2004-02-28 15:02:24 |
61. feladat megoldása: A pozitív egészekből álló sorozat: a1,a2,a3,...am,...an,...am+n-1
Nevezzük az i db egymásutáni tagból álló számsort „i-lánc”-nak. Nekünk m és n láncokat kell összegeznünk. Legyen m<n. Írjuk az összegzendő láncokat 1-el eltolva egymás alá, külön az m és külön az n-láncokat. Így azonos tagok kerülnek egymás alá.
Látható, hogy m-láncból (m+n-1)-m+1= n db van, hasonlóan n-láncból m db.
Az Sn összegben m sor van tehát az összeadott azonos tagok együtthatói 1-től m-ig növekednek a1-től am-ig. Ezután an-ig minden együttható m, majd egyesével csökkennek az együtthatók, am+n-1 együtthatója 1 lesz.
Az Sm összegben n(>m) sor van, de az m-láncok hossza m, így itt is csak m db azonos tag kerülhet egymás alá, hiszen minden m-lánc 1-el el van tolva és m számú eltolás után az első lánc „elfogy”. Így az egymás alá kerülő azonos tagokat összeadva az együtthatók pontosan úgy alakulnak mint az Sn összegben.
Tehát Sn=Sm.
|
|
Előzmény: [277] nadorp, 2004-02-27 11:58:44 |
|
[277] nadorp | 2004-02-27 11:58:44 |
A Nehezebb matamatikai problémák között Sirpi [75] kitűzött egy példát. Ennek egyik "mellékterméke" az alábbi állítás.
61.feladat: Legyenek m,n tetszőleges pozitív egészek és tekintsünk m+n-1 darab tetszőleges valós számot. Képezzük az összes lehetséges módon n darab szomszédos szám összegét. Jelölje ezen összegek összegét Sn. Definiáljuk hasonlóképpen Sm-et is. Bizonyítsuk be, hogy Sn=Sm
|
|
[276] Hajba Károly | 2004-02-26 21:57:29 |
Kedves László!
Íme az én verzióm majdnem a Te stílusodban. (Először nem jöttem rá a szines trükködre, de aztán gyakoroltam inkább a TeX-et :o)
K3-K1 |
K1 |
K1-K2 |
K2-K1 |
K2 |
K2-K3 |
K3-K2 |
K3 |
K1-K3 |
6 |
18 |
6 |
5 |
17 |
6 |
4 |
15 |
5 |
3 |
12 |
4 |
5 |
16 |
6 |
4 |
14 |
5 |
3 |
11 |
4 |
2 |
9 |
3 |
4 |
13 |
5 |
3 |
10 |
4 |
2 |
8 |
3 |
2 |
7 |
2 |
1 |
4 |
1 |
2 |
5 |
1 |
2 |
6 |
2 |
1 |
3 |
1 |
0 |
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
17 |
58 |
20 |
16 |
57 |
20 |
16 |
56 |
19 |
|
HK
|
Előzmény: [274] lorantfy, 2004-02-26 07:45:45 |
|
[275] Csimby | 2004-02-26 21:13:06 |
Onogur és Lorantfy megoldásában is 19/36 valószínűséggel nyer Andris. Nem lehet jobbat találni? ill. hogyan lehetne bebizonyítani, hogy nem lehet?
|
|
|
|
|
|
|
[269] lorantfy | 2004-02-25 11:20:16 |
Kedves Csimbi és Fórumosok!
Valóban túl egyszerűnek tűnik az egyenlő valószinüségű megoldás, figyelembe véve, hogy a példát Gyuri adta fel és a "kivégzés" emléke még bennünk él!
Nekem elsőre úgy tűnik, mintha az "egyik kocka jobb mint a másik" reláció tranzitív lenne. De mégis jónak találom az ötletedet! Vizsgáljuk meg!
|
Előzmény: [268] Csimby, 2004-02-25 11:00:28 |
|