Fórum: Érdekes matekfeladatok

Még szerencse, hogy nem az a kérdés, Te mit tennél, hanem hogy a kalózok hogyan cselekednének :-). Nekik pedig, racionálisan gondolkodva, el kell fogadniuk az egy aranyat, ugyanis ellenkező esetben a következő kalóz SEMMIT nem adna nekik, tehát még rosszabbul járnának. Feltéve persze, hogy a kalózok nem játszanak össze, mindegyik csak a saját egyéni érdekeit nézi.

Tehát továbbra is fenntartom, hogy ha én kezdenék, 96 0 1 0 1 0 1 0 1 0-val indítanék.

Sirpi

Kedves Sirpi!

Ha én lennék az 1 aranyas kalóz, bizony az osztó ellen szavaznék ... és zsupsz már a vízben is van.

Szerintem 4 kalóznak meg kell adnia az átlag 10-10 aranyat, hogy mindenképpen mellette szavazzanak, s ekkor már a többi 60 az övé lehet.

HK

Mivel sokáig nem írt megoldást senki, leírom, mire jutottam.

Nézzük meg először, mi a helyzet 2 kalózra. Nyilván aki oszt, az mind a 100-at magának adja, és a másik hiába szavaz ellene, nem tehet semmit.

Három kalóz esetén ezért, ha az osztó a legutolsónak 1 aranyat ad, akkor már maga mellé állítja, mert ha az utolsó a vízbedobásra szavaz, nem kap semmit. Ilyenkor tehát 99 0 1 jó osztás.

4 kalóz esetén 99 0 1 0 megint megteszi (a 3. kalóz ekkor az első mellett fog szavazni, mert különben 0-t kapna, ezzel megvan az 50%).

Stb... 10 kalóz esetén 96 0 1 0 1 0 1 0 1 0 megfelelő leosztás (az egyeseknek érdemes megszavazni a dolgot, különben 0-t kapnának, azaz megvan az 5 szavazat).

Sirpi

Bár, amikor az első kalóz megteszi az ajánlatát, azért nem árt, ha picit aggódik, hogy nem fogtak-e össze néhányan ellene :-)

Matek táborban az egyik tanárom adta fel ezt a feladatot, szerintem érdemes rajta elgondolkozni:

88. feladat: 10 kalóz szerzett 100 aranyat. Egymás közt el akarják osztani, úgy hogy a legkegyetlenebb kalóz osztja szét az aranyat, és ezt megszavaztatják. Ha a kalózok lagalább fele megszavazza, elosztják az ajánlat szerint. De ha a kalózok kevesebb, mint fele szavazza meg, a legkegyetlenebb kalózt vízbe dobják a nyílt tengeren, és a második legkegyetlenebb kalóz folytatja az elosztást. A kalózok egyformán inteligensek. Nincs köztük két egyformán kegyetlen. (A felosztó kalóz szavazata is beleszámít!)

Hány aranyat adjon magának a legkegyetlenebb kalóz, hogy biztosan ne dobják vízbe?

A feladatot lehet hogy nem fogalmaztam elég pontosan, de emlékezetből írtam le. Ha van valami kérdésetek írjatok!

87. feladat: Legyen S az ABC háromszög súlypontja. Keressük meg a sinCAS+sinSBC kifejezés maximális értékét!

Szebb.

Nem tudom,hogy szebb-e, de kicsit rövidebb.

Csináljunk az egyenletből egyenletrendszert:

log₃(2^x+1)=y és log₂(3^x-1)=y

azaz,

2^x+1=3^y

3^x-1=2^y

összeadva a két egyenletet 2^x+3^x=2^y+3^y. Mivel az f(x)=2^x+3^x függvény szigorúan monoton nő, ezért az előző egyenlőség csak x=y esetén teljesül, azaz

log₃(2^x+1)=x

2^x+1=3^x

A fenti egyenletnek az x=1 megoldása,és másik nincs is, mert a bal oldalon egy szigorúan monoton csökkenő függvény áll.

Nos, mivel eddig senki nem reagált senki a példára, beírom ide a ronda, favágós megoldásomat. Ha valaki tud szebbet, szóljon.

Legyen f(x)=log₃(2^x+1), g(x)=log₂(3^x-1). Olyan x-ek kellenek, amire f(x)=g(x).

Könnyű látni, hogy az x=1 megoldás, továbbá g(x) csak pozitív x-ekre van értelmezve. Ha ezek után megmutatjuk, hogy a közös értelmezési tartományon g(x) "gyorsabban nő", mint f(x), akkor készen is vagyunk, hiszen ebben az esetben az x=1-en kívül nem létezhet más megoldás.

Egyszerú átalakítással, felhasználva a log_ab=log_cb/log_ca azonosságot, kapjuk, hogy és .

Mindkét derivált pozitív x>0 esetén, továbbá . Itt mindhárom tényező nagyobb, mint 1, vagyis minden x>0-ra g'(x)>f'(x), vagyis a g(x)-f(x) függvény szigorúan monoton nő.

86. feladat: Oldjuk meg a köv. egyenletet a valós számok halmazán:

log₃(2^x+1)=log₂(3^x-1)

(Hegyi Lajos Emlékverseny 1999. 10.oszt.)

Szép volt Fiúk!

Gratulálok!

(2000 évi versenyfeladat volt 9.osztályosoknak) Kár, hogy a TECH nem működik rendesen!

Kedves Péter!

Így már jó. Gratulálok. Egyszerűbben oldottad meg, mint én. :o)

HK

Újabb kísérlet a 85. feladatra.

Alakítsuk át az egyelet bal oldalát.

(x+y)²-4(x+y)+8y=13

(x+y-2)²=17-8y

Ha bevezetjük a z=x+y-2 jelölést, akkor (sajnos a frac nem működik)

y=(17-z²)/8 és

x=(z²+8z-1)/8.

Most már csak z-re kell kikötés. Látszik, hogy ha z páros, akkor y nem lehet egész, viszont ha z páratlan, akkor y - és így x is - egész lesz. Az egyenlet összes megoldása tehát a fenti két képlettel definiált x,y számok, ahol z tetszőleges páratlan szám.( pld x=8 y=-1 a z=5 esetén adódik)

Kedves László és Péter!

Első ránézésre nem tűnt olyan érdekesnek, mint menet közben kiderült. :o)

Megoldás a 85. feladatra:

(1) (x+y)²-4(x-y)=13

Rendezzük y-ra az (1) egyenletet:

y²+2(x+2)y+x²-4x-13=0

azaz

y_1,2=-(x+2)GYÖK(8x+17)

Akkor kapunk egész megoldást, ha a gyök alatti érték négyzetszám. S itt meglepő fordulat következik. :o) Legyen

8x+17=(2n+1)²

(n>1)N⁺-rex. Azaz végtelen sok megoldás létezik. (Remélem jól írtam be a leírást. :o)

Innen a képleteket (x=..., y=...) nem tudom beírni, mivel nem jó jelenleg a TeX értelmezője. :o(

Később folytatom.

HK

Kedves László !

Teljesen igazad van, de mire ezt észrevettem, már Te is. A megoldásom teljesen rossz, elkapkodtam és elszámoltam. De vam másik, mindjárt leírom, ha még nem késő.

Kedves Péter!

Az a gondom, hogy x=4, y=1 ránézésből megoldás. Ez megoldása is az egyenletrendszerednek, de az x=8, y=-1 pár már nem, pedig ezek is jók.

Úgyis régen szóltam hozzá. Megoldás a 85. feladatra.

Egészítsük ki az egyenlet bal oldalát teljes négyzetté.Ekkor

(x+y)²-4(x-y)+4(x-y)²=13+4(x-y)²

[x+y-2(x-y)]²=13+(2x-2y)²

(x-3y)²-(2x-2y)²=13

Két négyzetszám különbsége csak a 49 és 36 esetén lesz 13, ezért a

x-3y=7

x-y=3

egyenletrendszereket kell megoldani. Látható, hogy a négy egyenletrendszerből csak y=2 x=-1 esetén kapunk megoldást.

85. feladat: Oldjuk meg az egész számok halmazán a következő egyenletet:

(x+y)²-4(x-y)=13

Kedves Mihály!

Ahhoz, hogy egy valós függvény deriváltját a 0-ban kiszámolhassuk, szükséges, hogy a függvény értelmezve legyen legalább egy 0-hoz torlódó pontsorozat mentén.

Nem beszélhetünk tehát "csak az origóban deriválható függvényről, amely ott ráadásul kétszer is deriválható", hiszen a második derivált 0-beli értékének kiszámításához az előző bekezdés értelmében ismernünk kellene az első derivált értékeit egy 0-hoz torlódó pontsorozat mentén. Mivel azonban az első derivált csak a 0-ban van definiálva, ez nem lehetséges.

A válasz tehát, hogy ilyen függvény nincs.

Mutassunk példát olyan valós függvényre, ami csak a 0-ban differenciálható, de ott kétszer is.

Bocs! Elkeztem begépelni a hozzászólást és közben érettségiztettem, aztán csak egy óra múlva küldtem el, így nem láttam a hozzászólásodat!

Komplex számok ismerete nélküli megoldásként én arra gondoltam...

Igen, ez az egyszerű, de a második hozzászólásomban erre már én is rájöttem :-)

Az alapállítást f(1)=-1 jelenti, csak (*)-ból nem jöhet ki az állítás.

Teljesen jogos, pontatlanul fogalmaztam. A megoldás vázlata kb. így néz ki:

f(k+3)=f(k)f(3)-f(k-3)=2f(k)-f(k)=f(k), kihasználva az indukciót, a (*) összefüggést, valamint azt, hogy f(3)=2. Utóbbi pedig könnyen látszik, még ha nem is közvetlenül számolunk, akkor is: f(2)=f(1)f(1)-f(0)=1-2=-1, f(3)=f(1)f(2)-f(1)=(-1)²-(-1)=2

Tudom, túlragoztam a dolgot...

Szia Sirpi!

Tetszik az f(k) függvényed! Az alapállítást f(1)=-1 jelenti, csak (*)-ból nem jöhet ki az állítás.

Komplex számok ismerete nélküli megoldásként én arra gondoltam, hogy mivel a=1 nem megoldása az egyenletnek, be lehet szorozni mindkét oldalt (a-1)-el.

Így (a-1)(a²+a+1)=0 vagyis a³-1=0 és ha a³=1 akkor persze a²⁰⁰⁴=1, tehát a keresett kifejezés értéke 2.

Persze a megoldás elég "misztikus" annak aki a komplex számokat nem ismeri. Hogy lehet az, hogy a1 és a³=1?

Lehet, hogy elbonyolítottam...

0=0(a-1)=(a²+a+1)(a-1)=a³-1, ahonnan a³=1. Innen pedig a²⁰⁰⁴=(a³)⁶⁶⁸=1, ennek a reciproka is 1, összegük 2, ez tehát a végeredmény. Hogy minek gépeltem az előbb ennyit???

Ez a 84. feladat poénos. A valós számok korében ugyanis nem teljesül a kezdeti feltétel, hiszen , de ettől pl. a komplex számok körében meg lehet a feladatot oldani.

Viszont az is meg tudja oldani a feladatot, aki nem is hallott a komplex számokról.

Vezessük be a következő jelölést: f(k)=a^k+a^-k.

Ekkor f(k)f(l)=(a^k+a^-k)(a^l+a^-l)=(a^k+l+a^-(k+l))+(a^k-l+a^-(k-l))=f(k+l)+f(k-l)

Vagyis: f(k+l)=f(k)f(l)-f(k-l) (*)

Mi éppen f(2004)-et akarjuk kiszámolni. Amit tudunk a fenti összefüggésen kívül, az az, hogy f(0)=2, f(1)=-1 és f(k)=f(-k) minden egész k-ra.

Állítás: f(k+3)=f(k) minden k-ra, ez indukcióval bizonyítható a (*) összefüggésből (ezt a részt, ami nem is túl nehéz, rábízom másra). Innen f(2004)=f(0)=2.

/persze tudom, hogy a egy harmadik egységgyök, és innen triviálisan kijön a 2, mint megoldás, de elemi módszerekkel próbáltam a feladatot megoldani./

84. feladat: Ha a²+a+1=0, akkor mennyi az értéke a

kifejezésnek?