Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[4038] nadorp2018-11-14 09:05:46

Ebben az esetben van minimum és maximum.Először két egyszerű becslés, amit majd használunk:

\(\displaystyle \sqrt{ab}\leq\frac{a+b}2\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}=\frac1{\sqrt2}\), azaz

\(\displaystyle ab\leq\frac12\) és \(\displaystyle a+b\leq\sqrt2\)

\(\displaystyle a+b=\sqrt{(a+b)^2}=\sqrt{1+2ab}\geq1\)

Jelölje T a szóban forgó törtet.

\(\displaystyle T=\frac{{(a^2+b^2)}^2-2a^2b^2+ab+1}{a+b}=\frac{2+ab-2a^2b^2}{a+b}=\frac{2+ab(1-2ab)}{a+b}\)

1) Alsó korlát T-re

Mivel \(\displaystyle 1-2ab\geq0\)

\(\displaystyle T\geq\frac2{a+b}\geq\frac2{\sqrt2}=\sqrt2\)

Egyenlőség \(\displaystyle a=b=\frac{\sqrt2}2\) esetén van.

2) Felső korlát T-re

\(\displaystyle T\leq\frac{2+ab}{a+b}=\frac{4+2ab}{2(a+b)}=\frac{3+{(a+b)}^2}{2(a+b)}=\frac{3-4(a+b)+{(a+b)}^2+4(a+b)}{2(a+b)}=\frac{(a+b-1)(a+b-3)+4(a+b)}{2(a+b)}\)

Mivel \(\displaystyle 1\leq a+b<3\)

\(\displaystyle T\leq\frac{4(a+b)}{2(a+b)}=2\)

Egyenlőség \(\displaystyle a=1, b=0\) vagy \(\displaystyle a=0 ,b=1\) esetén van.

Előzmény: [4037] Edmund, 2018-11-13 13:49:04
[4037] Edmund2018-11-13 13:49:04

a>/=0 b>/=0

[4036] nadorp2018-11-12 10:50:39

Ha \(\displaystyle a^2+b^2=1\), akkor \(\displaystyle |ab|\leq\frac{a^2+b^2}2=\frac12\), azaz \(\displaystyle a^4+b^4+ab+1\geq ab+1\geq\frac12\)

Így ha \(\displaystyle a\) elég közel van \(\displaystyle \frac{\sqrt2}2\)-höz és \(\displaystyle b\) elég közel van \(\displaystyle -\frac{\sqrt2}2\)-höz, akkor a+b elég közel van 0-hoz, így előjelétől függően a tört tetszőlegesen nagy abszolút értékű pozitív illetve negatív szám lehet, azaz nincs véges maximuma és minimuma.

Szerintem az "igazi" példához valamilyen feltételt még elhagytál ( pld. a,b>0)

Előzmény: [4034] Edmund, 2018-11-11 19:11:48
[4035] Fálesz Mihály2018-11-12 10:19:32

\(\displaystyle a^2+b^2=1\)... Két mennyiség négyzetösszege \(\displaystyle 1\)... Hol is láttam ilyet...?

Megvan! A tükörben láttam!

Előzmény: [4034] Edmund, 2018-11-11 19:11:48
[4034] Edmund2018-11-11 19:11:48

Sziasztok,

Nem tudna nekem valaki segíteni megálapítani (deriválas nélkül) hogy mi ennek a legkisebb és mi a legnagyobb lehető értéke ha \(\displaystyle a^2+b^2=1\)?

\(\displaystyle \frac{a^4+b^4+ab+1}{a+b} \)

A válaszokat előle köszönöm.

[4033] sakkmath2018-09-12 16:26:59

Az "aranyos" feladat innen származik. Sietségemben sajnos változtatás nélkül idéztem, s csak később vettem észre, hogy a KöMaL-TEX-ben is előállíthatók a halmazjelölések a BlackBoard típusú betűkkel. Itt a helyes megjelenítés tehát a valós számok halmazára: \(\displaystyle \mathbb{R}\).

Előzmény: [4031] Sinobi, 2018-08-22 23:25:56
[4032] Sinobi2018-08-22 23:30:25

A legtöbb renderer fraktúr ℜ-ként jeleníti meg. Konkrétan az 5 mathjax-os rendererből 3. (A previewHTML, a mathML és az SVG.) Ez meg elég szokatlan jel valós számok halmazának.

Előzmény: [4031] Sinobi, 2018-08-22 23:25:56
[4031] Sinobi2018-08-22 23:25:56

A Re parancs (\(\displaystyle \Re\)) az a valós rész inkább, mint a valós számok halmaza. Legalábbis a legtöbb render fraktúr

Előzmény: [4029] sakkmath, 2018-08-11 15:05:05
[4030] nadorp2018-08-20 11:07:56

Aranyos.

Legyen x=n+r, ahol n egész és \(\displaystyle 0\leq r <1\). Ekkor felhasználva, hogy \(\displaystyle r<\pi\)

\(\displaystyle A(x)=\sin x+\sin[x]+\sin\{x\}=\sin(n+r)+\sin n +\sin r=2\sin(n+\frac r2)\cos\frac r2+\sin r\leq 2\cos\frac r2+\sin r\)

Mivel \(\displaystyle r<\frac\pi3\) és az \(\displaystyle f(x)=2\cos\frac x2+\sin x\) könnyen láthatóan a \(\displaystyle [0,\frac\pi3]\) intervallumon szigorúan monoton nő, ezért

\(\displaystyle A(x)<2\cos\frac12+\sin1=2,59...<\frac{13}5\).

A fenti felső becslés már nem javítható, ugyanis a Dirichlet tételből (http://mathworld.wolfram.com/DirichletsApproximationTheorem.html) következik, hogy

\(\displaystyle |n+\frac 12-\frac\pi2-2k\pi|\) tetszőlegesen kicsi lehet alkalmas k és n esetén.

Előzmény: [4029] sakkmath, 2018-08-11 15:05:05
[4029] sakkmath2018-08-11 15:05:05

Bizonyítsuk be: ha

\(\displaystyle {x\in\Re}\), akkor

\(\displaystyle {\sin(x) + \sin([x]) + \sin(\{x\}) \le \frac{13}5.}\)

[4027] merse2017-12-28 17:24:06

Kedves fórumozók!

A KöMaL-ban van matek, fizika, mérési és informatika pontverseny is, de vannak olyan példák, amik egyik kategóriába sem passzolnak. Olyan kreativitást igénylő fejtörők, amikhez nem a tananyag ismerete a fontos, diákok és felnőttek számára egyaránt élvezetesek tudnak lenni. Jómagam annak idején lelkes KöMaL versenyző voltam több pontversenyben is, jelenleg pedig rendszeres példa kitűző vagyok, de úgy éreztem, hogy szükség lenne egy új pontversenyre, ami szerintem hiánypotló. Ez az új pontverseny szándékom szerint egy űrt töltene be, ami a KöMaL és a sablonos tömegrejtvények műfaja közé esne. Kísérleti jelleggel egy éven keresztül a blogomon futott egy ilyen pontverseny, lásd a Fejtörő feladatok címkét a duplapluszjo.blogspot.hu oldalon. Erre felfigyelt egy újonnan induló ismeretterjesztő napi híportál, a Qubit, ahol november óta nagy sikerrel és nagy látogatottsággal fut az Ész Ventura rovat. Jelenleg az év utolsó fejtörőjét még be lehet küldeni péntekig. Jövőre pedig indul a 2018-as pontverseny, amit szeretnék mindenki figyelmébe ajánlani, aki szereti a fejtörőket. Ha kíváncsi valaki, hogy milyen jellegű példákról beszélek, akkor nézze meg a blogomat vagy keressen rá a Ventura szóra a Qubit keresőjében. Előre is hálás köszönet, és ha tetszik, akkor terjesszétek!

[4026] jonas2017-09-04 00:26:12

15261198345933964248972668816735. feladat

Igazak-e a következők minden \(\displaystyle 2\le n \) egész számra?

(a) \(\displaystyle n \) akkor és csak akkor prím, ha minden \(\displaystyle 1\le k<n \) egészre

\(\displaystyle \binom{n}{k} \equiv 0 \pmod n \)

(b) \(\displaystyle n \) akkor és csak akkor prím, ha minden \(\displaystyle 1\le k<n-1 \) egészre

\(\displaystyle \binom{n-1}{k} \equiv (-1)^k \pmod n \)

[4025] Róbert Gida2017-07-26 21:47:41

Menjünk el egy olyan fához aminek ránézésre sokszáz levele van (nyilván egy 4-5 levelű fának bárki megszámolja a leveleit).

Kérdezzük meg, hogy hány levele van, majd játszunk 10 fordulót: minden egyes fordulóban bekötjük az (ál)fejszámoló szemét, és \(\displaystyle \frac 12\) valószínűséggel letépünk egy levelet a fáról (szabályos érme feldobásával is eldönthetjük ezt), majd levesszük a kötést a szeméről és megkérdezzük a levelek számát. Így a fának még mindig sok levele marad, és a döntésünktől függetlenül minden fordulóban, ha álfejszámoló, akkor \(\displaystyle \frac 12\) esélye van eltalálni a levelek számát (feltéve, hogy tudja, hogy ezt a játékot játsszuk vele). Így, ha nem igazi fejszámoló, akkor \(\displaystyle \frac{1}{1024}<0.001\) esélye van, hogy átmenjen ezen a teszten, azaz roppant nagy valószínűséggel lebukik, ha álfejszámoló.

ps. Figyeljük meg, hogy mi sem tudjuk, hogy az egyes fordulók végén hány levél van a fán, de ha az első kérdésre \(\displaystyle l\) volt a válasza, akkor \(\displaystyle 1\) levél letépése után, ha nem \(\displaystyle (l-1)\)-et válaszol, akkor vagy most tévedett, vagy a legelső kérdésnél és ekkor nem \(\displaystyle l\) levél volt a fán. Hasonló érveléssel például az is eldönthető, hogy valaki a levélszám paritását meg tudná mondani: egy levél letépésénél a paritás változik, egyébként megmarad. Továbbá nyilván úgy is eldönthető lenne, hogy igazat mond-e, hogy \(\displaystyle l\) levelet letépünk, de \(\displaystyle l<1024\)-nél az én tesztem pontosabb, és gyorsabb, környezetbarátabb.

Előzmény: [4024] Loiscenter, 2017-07-26 07:01:51
[4024] Loiscenter2017-07-26 07:01:51

Nagyon szeretnem tudni a megoldas:

Egy ember azt állítja, hogy ránézésre meg tudja állapítani egy fáról, hogy hány levele van.

Hogyan tudnánk meggyőződni arról, hogy igazat beszél-e?

Forras: Algebra 7-8 evfolyam (Fazekas math. )

[4023] Szundi72017-06-04 15:52:51

Ezt olvasva, a Kömal-szerkesztőket kérdezem:

Hány hónapos nem közlés után vehető tutira, hogy egy kitűzésre javasolt feladatot tényleg, végleg ejtettek? (Mondjuk A. v. B./6 pontos lenne a példa.)

Egy ilyen, Kömal-szerkesztőségi parkolópályán veszteglő feladatot a javaslattevő később esetleg továbbíthatna más folyóirathoz, "más versenyre, vagy valamilyen gyakorlaton házi- vagy vizsgafeladatként", ahogyan azt "jonas" bölcsen írta.

Azaz: mennyi az elévülési idő, kedves Kömal-szerkesztők?

Előzmény: [3503] jonas, 2011-10-10 21:25:11
[4022] juantheron2016-08-19 16:51:39

also thanks Fálesz Mihály

[4021] juantheron2016-08-19 16:49:47

If &tex;\displaystyle \ln(2\pi)<\log_{2}(2+\sqrt{3})<\ln(3\pi)&xet; Then number of real roots of &tex;\displaystyle 4\cos(e^x) = 2^x+2^{-x}&xet;

[4020] juantheron2016-08-19 16:48:10

Thanks Ibiro and yield.

[4019] nadorp2016-08-14 01:20:35

Igen, én is valami ilyet csináltam a &tex;\displaystyle \cos x - 3\sin x=\frac{\cos^2 x-9\sin^2 x}{\cos x+3\sin x}&xet; azonosságot felhasználva és a nevezőben levő függvényt vizsgálva a számláló előjelétől függően

Előzmény: [4017] Fálesz Mihály, 2016-08-13 18:50:32
[4018] jonas2016-08-13 23:54:34

A 2188333­59489485­09613500­03957441­83356730. feladat odaát a Játékelmélet téma alatt folytatódik.

Előzmény: [4012] jonas, 2016-08-02 11:47:36
[4017] Fálesz Mihály2016-08-13 18:50:32

Alternatív módszer: keressünk olyan &tex;\displaystyle C&xet; számot, amire

&tex;\displaystyle \cos x \ge 3\sin x + C(1-10\sin^2x) &xet;

teljesül minden &tex;\displaystyle 0\le x\le\frac\pi2&xet; esetén.

Előzmény: [4016] nadorp, 2016-08-12 17:34:15
[4016] nadorp2016-08-12 17:34:15

Ez nagyon elegáns!

Előzmény: [4015] yield, 2016-08-12 15:48:35
[4015] yield2016-08-12 15:48:35

Szerintem az "ibiro" arra gondolt, hogy:

&tex;\displaystyle \cos x_{i} = \sqrt{1-sin^2 x_{i}} = \sqrt{\sum_{k<>i}^{n} sin^2 x_{k}} >= \frac{\sum_{k<>i}^{n} \sin x_{k}}{\sqrt{n-1}}&xet;

Így a minimalizálandó mennyiség:

&tex;\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^{n} \cos x_{i}}{\sum_{i=1}^{n} \sin x_{i}} >= \frac{\frac {1}{\sqrt{n-1}} \sum_{i=1}^{n} \sum_{k<>i}^{n} \sin x_{k}}{\sum_{i=1}^{n} \sin x_{i}} = \frac {n-1}{\sqrt{n-1}} = \sqrt{n-1}&xet;

n = 10 esetén a minimum érték = 3

Előzmény: [4014] nadorp, 2016-08-08 21:02:04
[4014] nadorp2016-08-08 21:02:04

Azért ehhez a feladathoz szerintem több ötlet kell, mint egy mezei számtani és négyzetes közép közti összefüggés:-)

Érdekelne a megoldásod.

Előzmény: [4013] ibiro, 2016-08-06 18:25:55
[4013] ibiro2016-08-06 18:25:55

... is 3 (for &tex;\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{10}=arcsin(\frac{1}{\sqrt{10}}))&xet; and you can proof this by using the inequality between quadratic and aritmethic mean.

Előzmény: [4011] juantheron, 2016-07-23 16:36:00

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]