Fórum: Matematikai Diákolimpia

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[297] w	2014-07-13 18:54:46
Gratulálok én is a csapatnak!
Előzmény: [294] Kós Géza, 2014-07-11 22:09:39

[295] Erben Péter

2014-07-13 10:01:30

Nagyon szép eredmény! Gratulálok a csapatnak és a felkészítőknek.

Érdemes nézegetni a teljes eredménylistákat: országok versenyzők

Előzmény: [294] Kós Géza, 2014-07-11 22:09:39

[294] Kós Géza

2014-07-11 22:09:39

A 2014-es eredmények:

	1	2	3	4	5	6	összesen	helyezés	díj
Fehér Zsombor	7	7	6	7	7	1	35	15-24	aranyérem
Di Giovanni Márk	7	7	0	7	6	0	27	69-82	ezüstérem
Ágoston Péter	7	7	0	7	0	5	26	83-94	ezüstérem
Homonnay Bálint	7	7	0	7	2	0	23	109-123	ezüstérem
Janzer Barnabás	7	7	0	7	1	0	22	124-162	ezüstérem
Maga Balázs	7	7	0	4	2	0	20	200-220	bronzérem
csapat:	42	42	6	39	18	6	153	15

Előzmény: [293] Maga Balázs, 2014-07-11 19:44:43

[293] Maga Balázs

2014-07-11 19:44:43

Valószínűsíthető pontszámok:

Ágoston Péter: 7+7+0+7+0+5

Di Giovanni Márk: 7+7+0+7?+6+0

Fehér Zsombor: 7+7+6+7+7+1

Homonnay Bálint: 7+7+0+7+2+0

Janzer Barnabás: 7+7+0+7+1+0

Maga Balázs 7+7+0+4+2+0

[292] w	2014-07-10 19:46:19
Egyébként az ez évi válogatóversenyek feladatai: ISL 2013 N1, G4, A4; illetve A2, N3, G5.

[291] w

2014-07-10 18:00:34

Igazán nincs mit. Egyébként a 4. feladatban kikötötték még, hogy &tex;\displaystyle ABC&xet; háromszög hegyesszögű.

Ha valaki kíváncsi rá, a kitűző országok rendre Ausztria, Horvátország, Irán, Grúzia, Luxemburg és Ausztria (ill. USA).

Mit szóltok a feladatsor minőségéről, nehézségéről? Nekem úgy tűnt, hogy ez a tipikus IMO-hoz kevésbé hasonlított, mint a Kürschák-versenyre. Ilyen jellegű, kombinatorikus feladatsorok felé kellene mozdulni, vagy az utóbbi két évben látott "kiegyensúlyozottabb" feladatsorok jobbak voltak?

Előzmény: [290] jonas, 2014-07-10 09:07:17

[290] jonas	2014-07-10 09:07:17
Érdekes feladatok, köszönöm, hogy fölraktad őket.
Előzmény: [289] w, 2014-07-09 19:12:28

[289] w

2014-07-09 19:12:28

2014-es olimpia - 2. nap feladatai.

4. feladat. Legyen &tex;\displaystyle P&xet; és &tex;\displaystyle Q&xet; az &tex;\displaystyle ABC&xet; háromszög &tex;\displaystyle BC&xet; oldalának belső pontja úgy, hogy &tex;\displaystyle PAB\angle=BCA\angle&xet; és &tex;\displaystyle CAQ\angle=ABC\angle&xet;. Az &tex;\displaystyle M&xet; és &tex;\displaystyle N&xet; pontok olyanok, hogy &tex;\displaystyle P&xet; az &tex;\displaystyle AM&xet; szakasz, &tex;\displaystyle Q&xet; az &tex;\displaystyle AN&xet; szakasz felezőpontja. Mutassuk meg, hogy &tex;\displaystyle BM&xet; és &tex;\displaystyle CN&xet; egyenesek &tex;\displaystyle ABC&xet; háromszög körülírt körén metszik egymást.

5. feladat. Fokváros bankja &tex;\displaystyle \frac1n&xet; értékű pénzérméket forgalmaz, bármely pozitív &tex;\displaystyle n&xet;-nel. Van nálunk néhány fokvárosi pénzérme, melyek értéke összesen nem haladja meg a &tex;\displaystyle 99+\frac12&xet;-et. Mutassuk meg, hogy ezek a pénzérmék szétoszthatók &tex;\displaystyle 100&xet; darab csoportba úgy, hogy minden csoportban az érmék összértéke nem haladja meg az &tex;\displaystyle 1&xet;-et.

6. feladat. Egy síkbeli véges egyeneshalmazt általános helyzetűnek mondunk, ha nincs köztük kettő párhuzamos, és semelyik három sem halad át egy ponton. Néhány síkbeli egyenes a síkot az egyenesek által tovább nem darabolható részekre osztja, ezek közül a korlátos részeket nevezzük véges síkrésznek. Mutassuk meg, hogy elég nagy &tex;\displaystyle n&xet; esetén &tex;\displaystyle n&xet; darab általános helyzetű egyenes közül lehetséges minimum &tex;\displaystyle \sqrt n&xet; darabot kékre színezni oly módon, hogy a véges síkrészek közül egyiket se csak kék egyenesek határolják.

Megjegyzés. Ha &tex;\displaystyle \sqrt n&xet; helyett &tex;\displaystyle c\sqrt n&xet; értékre bizonyítjuk be az állítást, &tex;\displaystyle c<1&xet; nagyságától függő részpontszámok kaphatók.

[288] w

2014-07-08 17:45:21

2014-es olimpia - 1. nap feladatai.

1. feladat. Tekintsünk egy pozitív egészekből álló &tex;\displaystyle a_0<a_1<a_2<\dots&xet; végtelen sorozatot. Mutassuk meg, hogy egyértelműen létezik olyan &tex;\displaystyle n\ge 1&xet; egész szám, melyre

&tex;\displaystyle a_n<\frac{a_0+a_1+\dots+a_n}n\le a_{n+1}.&xet;

2. feladat. Legyen &tex;\displaystyle n\ge 2&xet; egész szám, és tekintsünk egy &tex;\displaystyle n\times n&xet;-es (&tex;\displaystyle n^2&xet; darab mezőből álló) sakktáblát. A sakktáblán bástyákat helyezünk el. Nevezzük békésnek &tex;\displaystyle n&xet; darab bástya olyan elrendezését, melyben nincs két bástya egy sorban vagy oszlopban. Határozzuk meg azt a legnagyobb pozitív egész &tex;\displaystyle k&xet; számot, amelyre teljesül, hogy bármely békés elrendezésben van egy &tex;\displaystyle k\times k&xet; méretű négyzet, melynek &tex;\displaystyle k^2&xet; mezője közül egyiken sincs bástya.

3. feladat. Az &tex;\displaystyle ABCD&xet; konvex négyszögben &tex;\displaystyle ABC\angle =CDA\angle =90^\circ&xet;. Az &tex;\displaystyle A&xet;-ból &tex;\displaystyle BD&xet;-re állított merőleges talppontja &tex;\displaystyle H&xet;. Adottak az &tex;\displaystyle S&xet; és &tex;\displaystyle T&xet; pontok az &tex;\displaystyle AB&xet;, illetve &tex;\displaystyle AD&xet; szakaszon úgy, hogy &tex;\displaystyle H&xet; az &tex;\displaystyle SCT&xet; háromszög belső pontja, továbbá

&tex;\displaystyle CHS\angle - CSB\angle = THC\angle -DTC\angle =90^\circ.&xet;

Mutassuk meg, hogy &tex;\displaystyle BD&xet; egyenes érinti a &tex;\displaystyle TSH&xet; háromszög köré írható kört.

[287] Maga Péter

2013-07-27 12:17:48

Gratulálok az egész csapatnak!

A tavalyi gyengébb szereplés után jó látni, hogy az 1. és a 4. feladatot mindenki 7 ponttal hozta, és még a 2. feladaton is sok pontot sikerült szerezni.

Ami a nehéz feladatokat illeti, ott is jobban szerepeltünk a tavalyinál. A bika 6. mindenkin kifogott, de Olivér és Attila is levadásztak egy-egy nehéz példát.

Előzmény: [285] Kós Géza, 2013-07-27 04:56:33

[286] w	2013-07-27 11:54:41
Gratulálok a magyar csapat tagjainak!!
Előzmény: [285] Kós Géza, 2013-07-27 04:56:33

[285] Kós Géza

2013-07-27 04:56:33

A eredmények:

	1	2	3	4	5	6	összesen	díj
Fehér Zsombor	7	2	0	7	0	0	16	bronzérem
Havasi Márton	7	7	0	7	0	0	21	bronzérem
Janzer Olivér	7	7	0	7	7	0	28	ezüstérem
Nagy Róbert	7	7	2	7	0	0	23	bronzérem
Szabó Attila	7	2	7	7	1	0	24	ezüstérem
Tardos Jakab	7	7	0	7	1	0	22	bronzérem
Összesen:	42	32	9	42	9	0	134

Csapatban 22-24. hely.

[284] w

2013-07-26 23:11:51

"Muszáj ezt?" - ha semmilyen megoldási ötletet sem akartál volna látni, csak a feladatokat olvastad volna el. Amúgy is, a két leírt trükk ismert, és más úton nem is lehetne elindulni.

"nem lesz." - igazad van, sajnos közelről sem lesz :-(

Előzmény: [283] Sinobi, 2013-07-26 22:48:08

[283] Sinobi

2013-07-26 22:48:08

,,(csak két ötlet kell: indukció és vakon választott alkalmas számok). "

muszáj ezt? (mondjuk most már mindegy)

,,A 3. feladat kicsit riasztó (mert 3. feladat), de könnyebb, mint a 2. feladat és így nagy eséllyel lesz 4-5 magyar megoldás. "

nem lesz.

Előzmény: [277] w, 2013-07-25 07:25:19

[282] w

2013-07-26 12:04:43

Nem sokat nehezít a feladaton a feltétel :-) Igen, pozitív egészek.

Remélem, azért az egyik moderátor kijavítja.

Előzmény: [281] 88FFAA, 2013-07-26 11:36:33

[281] 88FFAA	2013-07-26 11:36:33
Az 1. feladat szövegéből kimaradt, hogy m₁, ..., m_k pozitív egészek, nem?
Előzmény: [272] w, 2013-07-24 13:08:08

[280] w	2013-07-25 15:25:38
"Néhány kitalálható megoldás:" emitt.
Előzmény: [279] w, 2013-07-25 15:22:47

[279] w

2013-07-25 15:22:47

Egyetértek. A 4. feladat végül is csak a gyakorolt versenyzőket szűri ki az összesből. Ismert trükkök vannak benne, demonstrálásképpen:

Legyen $\omega$ ₁ és $\omega$ ₂ másik metszéspontja P. Miquel tétele szerint ANMP húrnégyszög, viszont mivel M és N rajta van AH Thálesz-körén, így valójában APH $\angle$ =90°. Másrészt BCMN húrnégyszög, és a szelőtétel szerint AN^.AB=AM^.AC, amiből A rajta van $\omega$ ₁ és $\omega$ ₂ hatványvonalán, WP egyenesen. A Thálesz-tétel szerint P $\in$ XY, így APH $\angle$ =90° egyenértékűvé válik a feladat állításával, amit ezzel beláttunk.

Ugyancsak piskóta az 1.

A mostani 6. feladat azért még rendes az IMO2012 3. és 6. feladatához képest. Néhány működő, és kitaláható megoldás: .

Mindenesetre kíváncsi volnék a versenyzőink eredményeire.

Előzmény: [278] Ménkűnagy Bundáskutya, 2013-07-25 12:55:35

[278] Ménkűnagy Bundáskutya

2013-07-25 12:55:35

Ahogy én látom: az 1. és a 4. nagyon könnyűek; a 2. könnyű-közepes, legfeljebb közepes; a 3. és az 5. nehezek; a 6. őrült.

Minden gusztus dolga is. Aki síkgeometriában nem ügyes, annak a 3. már nagyon nehéz és a 4.-kel is megkínlódhat.

Előzmény: [277] w, 2013-07-25 07:25:19

[277] w

2013-07-25 07:25:19

Értékelésem szerint az 1. feladat nagyon könnyű, mindenknek meglett (csak két ötlet kell: indukció és vakon választott alkalmas számok). A 2. feladatot is legalább 4-en megoldják. A 3. feladat kicsit riasztó (mert 3. feladat), de könnyebb, mint a 2. feladat és így nagy eséllyel lesz 4-5 magyar megoldás. (Az 1. nap nekem kb. OKTV-nehézségűnek tűnik...)

2. napon viszont szerintem átlagosan 1,67 megoldott feladat várható.

Előzmény: [275] Ménkűnagy Bundáskutya, 2013-07-24 20:49:08

[276] w

2013-07-24 22:59:07

2013-as olimpia - 2. nap feladatai

4. feladat. Legyen ABC hegyesszögű háromszög magasságpontja H, és legyen W a BC oldal belső pontja. Jelölje M és N rendre a B-ből és C-ből húzott magasság talppontját. Jelölje $\omega$ ₁ a BWN kört, $\omega$ ₂ pedig a CWM kört. Végül pedig X és Y pont olyan, hogy XW, illetve YW az $\omega$ ₁, illetve $\omega$ ₂ kör átmérője. Mutassuk meg, hogy X, Y és H egy egyenesre esik.

5. feladat. Jelölje Q_>0 a pozitív racionális számok halmazát. Az f:Q_>0 $\to$ R függvény a következő feltételeket teljesíti:

(i) f(x)f(y) $\ge$ f(xy) ( $\forall$ x,y $\in$ Q_>0),

(ii) f(x+y) $\ge$ f(x)+f(y) ( $\forall$ x,y $\in$ Q_>0),

(iii) Létezik a>1 racionális szám, melyre f(a)=a.

Igazoljuk, hogy f(x)=x minden x $\in$ Q_>0 esetén.

6. feladat. Legyen n $\ge$ 3 egész szám, és tekintsük egy szabályos (n+1)-szög csúcsait és azoknak körülírt körét. Majd minden csúcsot megjelöljük a 0,1,...,n számok valamelyikével úgy, hogy minden szám pont egyszer szerepel. Két ilyen jelölést pontosan tekintünk különbözőnek, ha nem vihetők forgatással egymásba. Egy ilyen jelölést szépnek nevezünk, ha bármely a<b<c<d és a+d=b+c esetén az a és d-vel jelölt csúcsok közötti húr nem metszi a b és c jelű csúcsok közötti szakaszt.

Legyen M a szép jelölésrendszerek száma és N azon (x,y) pozitív egész számpárok száma, melyekre x+y $\le$ n és lnko(x,y)=1. Bizonyítsuk be, hogy M=N+1.

[275] Ménkűnagy Bundáskutya	2013-07-24 20:49:08
Nagyon kellemes, csinos kis feladat a 2-es. Kombinatorikus geometria, ezért joggal remélhetjük, hogy jól szereplünk rajta. Talán 2. példának kicsit könnyű, de ez legyen a legnagyobb bajunk.
Előzmény: [272] w, 2013-07-24 13:08:08

[274] w	2013-07-24 17:03:45
Igen, köszönöm. Javítás: Melyik a legkisebb egyenesszám, amely minden esetben elegendő?
Előzmény: [273] Maga Péter, 2013-07-24 16:24:06

[273] Maga Péter

2013-07-24 16:24:06

,,Legalább hány egyenesre lesz szükségünk biztosan?''

Értendő: legalább hány egyenes elegendő biztosan?:)

Előzmény: [272] w, 2013-07-24 13:08:08

[272] w

2013-07-24 13:08:08

2013-as olimpia - 1. nap feladatai

1. feladat. Legyen k és n tetszőleges pozitív egész szám. Mutassuk meg, hogy létezik m₁, m₂, ..., m_k pozitív egészekből álló számsorozat úgy, hogy

$1+\frac{2^k-1}n=\left(1+\frac1{m_1}\right)\left(1+\frac1{m_2}\right)\dots\left(1+\frac1{m_k}\right).$

2. feladat. Adott a síkon 2013 számú piros pont és 2014 darab kék pont úgy, hogy nincs közülük három egy egyenesen. A síkot az előbbiek közül egyik pontra sem illeszkedő egyenesekkel olyan tartományokra szeretnénk bontani, melyek nem tartalmaznak egyszerre piros és kék pontot. Legalább hány egyenesre lesz szükségünk biztosan?

3. feladat. ABC háromszög megfelelő hozzáírt körei rendre A₁, B₁, C₁ pontokban érintik a BC, CA, AB oldalszakaszokat. Bizonyítsuk be, hogy ha A₁B₁C₁ háromszög körülírt körének középpontja illeszkedik ABC háromszög körülírt körére, akkor ABC háromszög derékszögű!

(Itt találhatók megoldások, megoldási ötletek.)

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15]

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?