Fórum: Matematikai Diákolimpia

A magyar csapat milyen eredményt ért el?

1) Kína   190

2) Oroszország 169

3) USA 168

Szia Géza!

Az eredmények mikorra várhatóak?

Íme az idei feladatok.

Első nap

1. feladat. Határozzuk meg az összes olyan f:RR függvényt, amelyre az

f([x]y)=f(x)[f(y)]

egyenlőség teljesül minden x,yR-re. (Itt [z] a legnagyobb olyan egész számot jelöli, amely kisebb vagy egyenlő z-nél.)

Javasolta: Franciaország

2. feladat. Legyen I az ABC háromszög beírt körének középpontja, pedig a háromszög körülírt köre. Az AI egyenes másik metszéspontja a körrel legyen D. Legyen E a BDC körív egy pontja, F pedig a BC szakasz egy pontja, amelyekre teljesül

Legyen továbbá G az IF szakasz középpontja. Bizonyítsuk be, hogy a DG és EI egyenesek a körön metszik egymást.

Javasolta: Hong Kong

3. feladat. Legyen N a pozitív egész számok halmaza. Határozzuk meg az összes olyan g:NN függvényt, amelyre

(g(m)+n)(m+g(n))

teljes négyzet minden m,nN-re.

Javasolta: USA

Második nap

4. feladat. Legyen P egy pont az ABC háromszög belsejében. Az AP, BP és CP egyenesek másik metszéspontja az ABC háromszög körülírt körével legyen rendre K, L és M. A körhöz C pontban húzott érintő messe az AB egyenest az S pontban. Tegyük fel, hogy SC=SP. Bizonyítsuk be, hogy MK=ML.

Javasolta: Lengyelország

5. feladat. A B₁,B₂,B₃,B₄,B₅,B₆ dobozok mindegyikében kezdetben egy érme van. Kétféle megengedett lépés van:

1. típusú lépés: Választunk egy B_j nemüres dobozt, ahol 1j5. Elveszünk egy érmét a B_j dobozból, és hozzáadunk két érmét a B_j+1 dobozhoz.

2. típusú lépés: Választunk egy B_k nemüres dobozt, ahol 1k4. Elveszünk egy érmét a B_k dobozból, és kicseréljük a B_k+1 (esetleg üres) doboz tartalmát a B_k+2 (esetleg üres) doboz tartalmával.

Állapítsuk meg, hogy ilyen lépések valamilyen véges sorozata segítségével elérhető-e, hogy a B₁, B₂, B₃, B₄, B₅ dobozok mindegyike üres legyen, a B₆ doboz pedig pontosan 2010^20102010 érmét tartalmazzon. (Definíció szerint a^bc=a^(bc).)

Javasolta: Hollandia

6. feladat. Legyen a₁,a₂,a₃,... pozitív valós számok egy sorozata. Tegyük fel, hogy van egy olyan s pozitív egész, amellyel

a_n=max {a_k+a_n-k | 1kn-1}

teljesül minden n>s egészre. Bizonyítsuk be, hogy léteznek olyan és N pozitív egészek, amikre s, és minden nN-re.

Javasolta: Irán

Hát sajnos nem sokal, egy egyszerű geot kellet volna megoldanom. De mondom, majd jövőre...

Gratulálok én is. Jól látom, hogy nem sokkal maradtál le az aranyról?

Gratulálok a csapat minden tagjának és a felkészítő tanároknak!

Gratulálok a csapatnak!

Biztosak vagyunk abban, hogy mindent megtettetek az eredményes szereplés érdekében. Mnd a hatan érmet szereztetek, ez szép teljesítmény. Gratulálok a csapatnak, és mindannyiótoknak további sikeres és eredményes munkát kívánok.

Köszönjük. Megpróbáltuk a lejobbat kihozni magunkból. Jővőre megpróbálunk még jobbak lenni. Nagy János

Köszönöm szépen!

http://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=2009

Honnan tudod az eredményt? Még nincs fenn az IMO honlapján.

Mármint

Tomon István 7 7 7 7 7 0 35 Gold medal

Szűcs Gergely 7 7 1 0 3 0 18 Bronze medal

Nagy János 7 7 7 2 7 0 30 Silver medal

Nagy Dániel 7 7 1 5 3 0 23 Bronze medal

Kornis Kristóf 7 7 0 2 7 0 23 Bronze medal

Éles András 7 7 2 5 7 0 28 Silver medal

Gratulálok a magyar csapat tagjainak!

Az eredmények:

Tomon István 7 7 7 7 7 0 35 Gold medal

Szűcs Gergely 7 7 1 0 3 0 18 Bronze medal

Nagy János 7 7 7 27 0 30 Silver medal

Nagy Dániel 7 7 1 53 0 23 Bronze medal

Kornis Kristóf 7 7 0 27 0 23 Bronze medal

Éles András 7 7 2 57 0 28 Silver medal

Az idei feladatok

(Szabad fordításban)

I. nap

1. feladat. Legyen n pozitív egész, és legyenek a₁,a₂,a₃,...,a_k (k2) különbző egészek az {1,2,...,n} halmazból úgy, hogy a_i(a_i+1-1) osztható n-nel minden egyes i=1,2,...,k-1 esetén. Bizonyítsuk be, hogy a_k(a₁-1) nem osztható n-nel.

2. feladat. Az ABC háromszög köré írt kör középpontja O. P és Q belső pontjai a CA, illetve AB oldalaknak. Legyen K, L és M a BP, CQ, illetve PQ szakaszok felezőpontja, és legyen a K,L,M pontokon átmenő kör. Bizonyítsuk be, hogy ha érinti a PQ egyenest, akkor OP=OQ.

3. feladat. Tegyük fel, hogy s₁,s₂,s₃,... egy pozitív egészekből álló, szigorúan növekvő sorozat, amire az s_s1,s_s2,s_s3,... és s_s1+1,s_s2+1,s_s3+1,... részsorozatok számtani sorozatok. Bizonyítsuk be, hogy s₁,s₂,s₃,... maga is számtani sorozat.

II. nap

4. feladat. Az ABC háromszögben AB=AC. A CAB és az ABC szög felezője a BC és CA olalakat D-ben, illetve E-ben metszi. Legyen K az ADC háromszögbe írt kör középpontja. Tegyük fel, hogy BEK=45^o. Határozzuk meg a CAB szög összes lehetséges értékét.

5. feladat. Határozzuk meg az összes olyan, a pozitív egészek halmazából a pozitív egészek halmazába képező f függvényt, amire tetszőleges a,b pozitív egészek esetén az a, f(b) és f(b+f(a)-1) hosszúságú szakaszokból (nem elfajuló) háromszög szerkeszthető.

6. feladat. Legyenek a₁,a₂,...,a_n különböző pozitív egészek, és legyen M egy n-1 pozitív egészből álló halmaz, ami nem tartalmazza az s=a₁+a₂+...+a_n számot. Egy szöcskének, a számegyenes 0 pontjából indulva, összesen n-szer kell ugrania jobb felé úgy, hogy az ugrások hossza rendre a₁,a₂,...,a_n legyen valamilyen sorrendben. Bizonyítsuk be, hogy az ugrások sorrendjét meg tudjuk választani úgy, hogy a szöcske egyszer se lépjen M-beli pontra.

GRATULÁLOK A MAGYAR CSAPAT MINDEN TAGJÁNAK!

Nagyon nagy dolog, amit a fiúk műveltek. Ez nem vicc, gyerekek. Le a kalappal! Gratulálok az egész magyar csapatnak és mindenkinek, akinek ehhez a világraszóló sikerhez valamilyen köze van! Mert tetszik van nem, igenis, többek között az ilyen tudás az IGAZI ÉRTÉK! Nem lehet pénzben kifejezni.

Azért ne feledkezzünk el Tomon Istvánról sem, aki ugyan nem Lovász fia :) mégis, az 5. helyet szerezte meg, ami legalább olyan kimagaslóan szép teljesítmény...

Eredmények:

http://www.imo-2008.es/results.html

Lovász fia negyedik lett az összes induló között, másodikban vesztett pontot.

Ezt a számolós második példának az a részét beadtam a Mathematica-nak, nem tudta bebizonyítani, tehát annyira mégsem könnyű, legalábbis egy gépnek. Csak a teljesen triviális jobboldal=0-át tudta belátni.

Köszönöm a segítséget.

Egy pontosítás: a könyv 2003-ban jelent meg. Az Eötvös Kiadó jelenleg így hirdeti:

Ha jó angolul is, klikk ide. Itt az "S"-ikonokra kattintva a megoldásokhoz jutunk. Magyarul két lehetőség adódik:

1) Egy könyv: Reiman István - Dobos Sándor: Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák 1959 - 2003 (TypoTex, 2000, ISBN : 9639548045);

2) Egy lap: KöMaL 2000. év októberi száma. (Legalábbis ebben kell lennie, ugyanis az elmúlt évek gyakorlata ez: a szeptemberi számban a feladatokat és a beszámolót közlik, s a következőben hozzák a magyar olimpikonok megoldásait.

Üdv! Valaki megtudná mondani, hol találhatom meg a 41. diákolimpia(2000 júliusa) feladatainak megoldását?

Magyarul az idei 6 feladat:

http://www.imo-2008.es/examenes/hun.pdf