|
[1725] Fálesz Mihály | 2012-03-23 16:32:36 |
Én inkább a függvényt vizsgálnám. A második derivált mutatja, hogy g a intervallumban konkáv:
Ezért hát a Jensen-egyenlőtlenséget a g függvényre és az sin2x, cos2x pontokra felírva,
2sin x+2cos x2|sin x|+2|cos x|=g(sin2x)+g(cos2x)
|
Előzmény: [1722] spongya, 2012-03-22 23:24:12 |
|
|
|
[1722] spongya | 2012-03-22 23:24:12 |
"Ha sikerülne elemi eszközökkel belátni, hogy 2sin(x) alulról konkáv, ..."
Nekem + az jött ki, hogy -ban 2sin(x) alulról konvex. Sőt, a konvexitási tartomány jobbra még kicsit szélesíthető is. Vagy rosszul látom?
|
Előzmény: [1720] HoA, 2012-03-22 20:05:27 |
|
[1721] Lóczi Lajos | 2012-03-22 22:56:02 |
Valamilyen a>1 esetén tekintsük az asin (x)+acos (x) függvényt a [0,2) intervallumon. Ha pl. a=2, akkor f-nek pontosan 2 szélsőértékhelye van.
Van olyan a>2 érték, amikor ez nem igaz? Mi az "első" ilyen kritikus érték?
|
|
|
[1719] Hölder | 2012-03-22 12:21:33 |
Én egy kicsit máshogy közelítettem meg a dolgot, bár el kell ismerjem, először én is úgy próbáltam, mint te. Szóval 2 a sinx-ediken /(sinx) = 2 a cos x-ediken /cosx (nyilván sinx= 0 és cosx=0 nem jöhet szóba, ezért nyugodtan oszthatunk vele).És itt érdemes bevezetni a g(x) =2 az x-ediken /x függvényt, ezt vizsgálni a [-1,1]-ban, hiszen az argumentumok sinx és cos x. Ha megnézed, ennek 1/ln 2-ben lesz szélsőértéke, ami 1-nél nagyobb, tehát előtte monoton a függvény, amiből adódik, hogy sinx=cosx, azaz tgx=1, innen jönnek a szélsőértékek, de ez sajnos nem elemi megoldás, és valahogy úgy érzem valami nagyon trükkös elemi megoldás is van, csak én nem találtam meg. Amúgy hogy lehet itt matematikai dolgokat beírni?
|
Előzmény: [1718] Lóczi Lajos, 2012-03-21 21:33:58 |
|
[1718] Lóczi Lajos | 2012-03-21 21:33:58 |
Érdekes, hogy deriválással könnyen meghatározható az 5/4-nél lévő minimum (csak egy Bolzano-tétel -- ez az a szélsőérték, ami neked is kijött már elemi módszerekkel), de a /4-nél lévő maximummal meg kellett egy kicsit küzdenem.
Vagyis a kérdésem az, hogy hogyan lehetne minél egyszerűbben belátni, hogy a
tg(x)=2sin (x)-cos (x)
egyenletnek a [0,2] intervallumban pontosan 2 gyöke van? (Az x(/2,2] intervallum tehát könnyű, ami szerintem nem látszik egyszerűen, az az x[0,/2) tartomány.)
|
Előzmény: [1717] Hölder, 2012-03-20 20:46:47 |
|
|