[1890] w | 2013-10-05 14:30:26 |
Szerintem igaz lesz. Tehát az a kérdés, hogyha a1,a2,...,an>0 valós számok, létezik-e olyan d>0 valós, mellyel
Itt ri(d)[0;d) az a valós szám, melyhez létezik k egész szám, mellyel ai=kd+ri(d) i=1,2,...,n.
Most ezt először átrendezzük, hogy átlássuk a szerkezetét:
azaz nekünk jó közel kell hoznunk a hányadosokat az 1-hez, de úgy, hogy az 1-et még ne érjük el.
A megoldási ötletem az volna, hogy tfh. 0<a1a2...an, és csináljunk racionális approximációt: legyen i, ahol N, Ai egészek. Vegyük -t, ekkor ai<Aid, ai/d<Ai kellene nekünk, ahol ai/d nagyon közel van Ai-hez. De , így ez talán jó lesz, hisz ,>0 akármilyen kicsi, de egymáshoz képest akármilyen nagy. (Rendesen le kellene tisztítani határértékügyileg, ez még elvi hibás is lehet.)
|
Előzmény: [1888] Sinobi, 2013-10-05 13:15:24 |
|
|
[1888] Sinobi | 2013-10-05 13:15:24 |
Igaz-e, hogy minden nemnegatív a1, a2, ... an valós számok esetén létezik olyan d valós szám, hogy ? (a modulo pozitív értéket ad vissza). Ebből már következne egy másik állítás, amiből egy megint másik, amiből a feladat, de ez ehhez hozzá se tudok nyúlni, nem is látszik igaznak :( Van valakinek ötlete? Másik becslése, ellenpéldája, stb?
|
|
[1887] koma | 2013-10-03 22:47:30 |
köszi mindenkinek a hozzászólását, tényleg nem volt egy "nehéz" feladat, de valahogyan nem jöttem mégsem rá... sebaj, most már okosabb lettem, köszönöm:)
|
|
[1886] w | 2013-10-03 20:04:50 |
Ez igazából ugyanaz a megoldás: a3-3ab=35, ab=30 után a3=(x+y)3=125, x+y=5. Köszi viszont, hogy leírtad. (Direkt azért úgy mutattam be, mert kicsit általánosabb, pl. alkalmas az x+y=3, x4+y4=17 egyenletrendszer megoldására is.)
Fálesz Mihálynak is köszönöm a megoldási ötletét/módszerét, nagyon érdekes volt.
|
Előzmény: [1884] Alekszandrov, 2013-10-03 11:20:52 |
|
|
[1884] Alekszandrov | 2013-10-03 11:20:52 |
Van másik megoldás is, nem kell ehhez a és b! :-)
A második egyenletet szorozd meg hárommal, majd add össze az elsővel, így x+y köbe egyenlő 125-tel, tehát x+y=5. Majd a második egyenletet szorzattá alakítva, az x+y helyébe beírva az 5-öt, kapjuk: xy=6 Ez a két egyenlet már ránézésre is megoldható!
|
Előzmény: [1883] koma, 2013-09-30 10:02:34 |
|
|
[1882] w | 2013-09-29 22:42:37 |
Szia Koma!
Az 1) feladatod klasszikus példa az ún. elemi szimmetrikus polinomok alkalmazására. Tehát az ilyen szimmetrikus kifejezéseket ki lehet fejezni a:=x+y és b:=xy segítségével: 35=x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=(x+y)[(x+y)2-3xy]=(x+y)3-3xy(x+y)=a3-3ab és 30=x2y+xy2=xy(x+y)=ab. Innen már nem olyan nehéz befejezni.
2) 3) Vedd észre, hogy a20 és |a|0, ahol egyenlőség épp akkor áll fenn, ha a=0.
|
Előzmény: [1881] koma, 2013-09-29 20:13:57 |
|
[1881] koma | 2013-09-29 20:13:57 |
Az alábbi feladatok megoldásában kérném a segítségeteket:
1,Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert! x3+y3=35, b, x2y+y2x=30
ugyebár a= (x+y)(x2-xy+y2) b= xy(x+y), de hogyan tovább?
2, (x2-1)2+(x4-1)2=0 látom, hogy másodfokú egyenletre vezet, de nem látom a megoldását
3, abs (x+y-13) + abs (y-z-5) abs (y-z-2) =0
nagyon szépen köszönöm előre is a segítséget, és további szép estét kívánok!
|
|