[1962] marcius8 | 2014-11-27 14:13:22 |
Köszi a szép és nagyon egyszerű megoldást!!!!!!! Az #1961 hozzászólásban levő összefüggés szerintem is beillene egy versenyfeladatnak. Tisztelettel: Bertalan Zoltán.
|
Előzmény: [1960] emm, 2014-11-26 21:33:49 |
|
[1961] Ali | 2014-11-27 09:22:28 |
Szép megoldás.
Lett egy azonosság, ami első ránézésre nem tűnik triviálisnak:
&tex;\displaystyle \sum_{k=1}^l{k\binom{l}k\sum_{\matrix{i_1+i_2+...+i_k=n\cr i_1,i_2,...i_k\ge1\cr}}^k{\frac{n!}{i_1!i_2!...i_k!}{\bigg(\frac1{l}}\bigg)^n}} = l-l\Big(\frac{l-1}{l}\Big)^n&xet;
ahol az &tex;\displaystyle i_1+i_2+...+i_k=n&xet; felbontásban a sorrend számít és &tex;\displaystyle n\ge{l}.&xet;
|
Előzmény: [1960] emm, 2014-11-26 21:33:49 |
|
[1960] emm | 2014-11-26 21:33:49 |
Legyen &tex;\displaystyle n&xet; ember és &tex;\displaystyle l&xet; emelet. &tex;\displaystyle X&xet; legyen a megnyomott gombok száma, &tex;\displaystyle X=\sum_{i=1}^l A_i&xet;, ahol &tex;\displaystyle A_i=0&xet;, ha nem nyomták meg a gombot, és &tex;\displaystyle 1&xet;, ha megnyomják, valamint legyen &tex;\displaystyle B_i&xet; az az esemény, hogy valaki megnyomja az &tex;\displaystyle i&xet;-ik gombot. De ekkor &tex;\displaystyle E(A_i)=P(B_i)&xet; és &tex;\displaystyle P(B_i)=P(B_j)&xet;.
&tex;\displaystyle E(X)=E\Big(\sum_{i=1}^l A_i\Big)=\sum_{i=1}^l E(A_i)=\sum_{i=1}^l P(B_i)=lP(B_1)=l-l\Big(\frac{l-1}{l}\Big)^n&xet;
|
|
[1959] Ali | 2014-11-26 10:29:06 |
&tex;\displaystyle \sum_{k=1}^{20}{k\binom{20}{k}\sum_{i_1+i_2+...+i_k=30,\forall{i_j}>0}^k{\frac{30!}{i_1!i_2!...i_k!}{\bigg(\frac1{20}}\bigg)^{30}}}&xet;
Az &tex;\displaystyle i_1+i_2+...+i_k=30&xet; felbontásban a sorrend számít.
|
Előzmény: [1954] marcius8, 2014-11-25 11:18:40 |
|
|
|
|
|
[1954] marcius8 | 2014-11-25 11:18:40 |
Tegyük fel, hogy a szuper-hilton szálloda földszintjén beszáll a liftbe 30 ember. A szálloda 20 emeletes, tehát a liftben a "földszint" gombon kívül 1-től 20-ig számozott gombok találhatóak. A 30 ember mindegyike megnyomja a számozott gombok valamelyikét (egy ember pontosan egy gombot nyom meg), annak megfelelően hogy ki melyik szintre akkar a lifttel megérkezni. Természetesen tekinthetjük úgy, hogy akármelyik ember akármelyik gombot egyforma (1/20) valószínűséggel nyomja meg. Mennyi lesz a megnyomott gombok számának várható értéke? Tisztelettel: Bertalan Zoltán.
|
|
[1953] Old boy | 2014-11-23 09:22:21 |
A B.4612 sz. feladat (2014 március) megoldását keresem (a "Lejárt..." menüpont alá is feltettem a kérést). Előre is kösz!
|
|