Fórum: Valaki mondja meg!

Íme a képlet

Legyen \(\displaystyle g_1, g_2, ..., g_k\) a különböző színű gyöngyök száma

\(\displaystyle N = \sum_{i=1}^{i=k}{g_i}\)

\(\displaystyle \text{ Nyakláncok száma}=(A+B)/2N\)

Ahol

- ha 2-nél több páratlan darabszámú szín van: A=0

- ha 2 páratlan darabszámú szín van:

\(\displaystyle A =\frac{((N/2)-1)!}{\prod_{i=1}^{i=k}(\left\lfloor g_i/2\right\rfloor)!}\cdot N\)

- ha 0 vagy 1 páratlan darabszámú szín van:

\(\displaystyle A =\frac{(N/2)!}{\prod_{i=1}^{i=k}(\left\lfloor g_i/2\right\rfloor)!}\cdot N\)

Legyenek \(\displaystyle d\) a \(\displaystyle g_1, g_2, ..., g_k\)-k legnagyobb közös osztójának osztói

\(\displaystyle B=\sum_{j|d}\frac{(N/j)!}{\prod_{i=1}^{i=k}(g_i/j)!}\cdot \varphi(j)\)

Az adatok mindenképpen elegendőek, mert a megadott szögek hasonlóság erejéig meghatározzák az ábrát.

Ilyen feladatoknál mindig szokott lenni

(1.) valami kedves kreatív szerkesztés, ami a szög megsejtése után nagyon elemi megfontolásokkal vezeti le annak nagyságát (sokszor pakolnak valahova szabályos háromszöget, vagy használják, hogy egy háromszög szögfelezői egy ponton mennek át),

(2.) egy szabályos \(\displaystyle 18\)-szög, aminek néhány átlójának egy ponton való áthaladásával ekvivalens a feladat.

A legegyszerűbb és legkönnyebb módszer azonban (3.) a szinuszarányokkal való számolás szokott lenni. A következő képletet használjuk: ha \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle D\) egy pont a \(\displaystyle BC\) oldal belsejében, akkor

\(\displaystyle \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\cdot \frac{\sin BAD\angle}{\sin DAC\angle}. \)

Ez a képlet az \(\displaystyle ABD\triangle\) és \(\displaystyle ACD\triangle\) szinusztételeinek leosztásából adódik.

A feladat megoldása. Mivel \(\displaystyle BAC\angle = 20^\circ\), ezért \(\displaystyle EB=EA\), ahonnan \(\displaystyle BEF\angle=x\) és \(\displaystyle FEA\angle=y\) esetén \(\displaystyle x+y=140^\circ\), továbbá

\(\displaystyle \frac{BF}{FA}=\frac{EB}{EA}\cdot \frac{\sin BEF\angle}{\sin FEA\angle}=\frac{\sin x}{\sin y} \)

és a szinusztétel szerint

\(\displaystyle \frac{BF}{FA}=\frac{CB}{CA}\cdot \frac{\sin BCF\angle}{\sin FCA\angle}=\frac{\sin 20^\circ}{\sin 80^\circ}\cdot \frac{\sin 50^\circ}{\sin 30^\circ}=\frac{\sin 20^\circ\cos 40^\circ}{4\sin 20^\circ\cos 20^\circ\cos40^\circ\cdot \frac 12}=\frac{1/2}{\cos 20^\circ}=\frac{\sin 30^\circ}{\sin 110^\circ}. \)

Tehát

\(\displaystyle \frac{\sin x}{\sin y}=\frac{\sin 30^\circ}{\sin 110^\circ}. \)

Ebből \(\displaystyle x+y=140^\circ\) miatt \(\displaystyle x=30^\circ\), \(\displaystyle y=110^\circ\) következik.

//Ugyanis \(\displaystyle x+y=140^\circ\) feltételt rögzítve, \(\displaystyle x\) növelésével, \(\displaystyle y\) csökkentésével \(\displaystyle \frac{\sin x}{\sin y}\) is növekszik. Ezt úgy láthatjuk, ha felveszünk egy \(\displaystyle AOB\angle=140^\circ\)-os szögtartományban egy \(\displaystyle P\) pontot az \(\displaystyle AB\) szakaszon; ekkor \(\displaystyle \frac{\sin x}{\sin y}=\frac{d(P,AO)}{d(P,BO)}\), ha \(\displaystyle PO\) az \(\displaystyle AO\)-val és \(\displaystyle BO\)-val rendre \(\displaystyle x,y\) szöget zár be. Ha \(\displaystyle x\) nő és \(\displaystyle y\) csökken, \(\displaystyle d(P,AO)\) nő és \(\displaystyle d(P,BO)\) csökken, így az arány nő.//

Itt a képlet arra, ha 6 narancssárga, 12 kék és 18 zöld gyöngy van. A legnagyobb közös osztó 6. A tagok a 18 szög azon szimmetriáinak felelnek meg, amelyek rendje 6 osztója, 6 a lnko. A kombinatorikus tag együtthatója minden \(\displaystyle d\) osztóra \(\displaystyle \varphi(d)\). A 36-os együttható a tükrözéseknek felel meg. Így valóban csak \(\displaystyle d(n)+1 \) tag van.

\(\displaystyle \frac{ \binom{36}{18}\cdot\binom{18}{12} +\binom{18}{9}\cdot\binom{9}{6} + 36\cdot \binom{18}{9}\cdot\binom{9}{6} + 2 \cdot \binom{6}{3}\cdot\binom{3}{2} + 2 \cdot \binom{12}{6}\cdot\binom{6}{4} }{72} = \\ \frac{\frac{36!}{6!\cdot 12!\cdot 18!} + 37\cdot \frac{18!}{9!\cdot 6!\cdot 3!} + 2 \cdot \frac{6!}{3!\cdot 2!} + 2 \cdot \frac{12!}{6!\cdot 4!\cdot 2!}}{72} = \\ \frac{168\,470\,811\,709\,200 + 37\cdot4\,084\,080 + 2\cdot13\,860 + 2\cdot60}{72} = \\ 2\,339\,874\,484\,000 \)

Ehhez meg kell számolni a különböző szimmetriák fixpontjait és beszorozni egy kombinatorikusan kapott együtthatóval. Itt tükrözések, forgatások és identitás jön szóba. Találtam a neten egy példát

http://m.cdn.blog.hu/kr/krisztikt/image/altalam_keszitett.pdf

26.oldal

Közben itt egy másik feladat, mértan, mind körben forgok vele, mintha nem lennének elegendők az adatok, van e valami tippetek:

Igen Sinobi, Én is kíváncsi lennék ennek a változatnak a megoldására, mert itt nem lehet állítani, hogy látszik, meg stb. Ezért várok egy olyan megoldást, ami általában is érvényes, ilyen nagy számokra is, amit írtál.

Kedves jónás, becsülöm és csodálom a türelmedet, hogy a sok esetet végig elemezted, de szerintem ez túl nyűgös megoldás. Én egy ismétléses permutációkkal történő megoldásra vadászok.

Kedves csábos! Ebben a képletben valami nem stimmel, mert (3,5)=1 (a 3 és 5 lnko=1)de 1+2 nem adja a megoldások számát ami nagy bizonnyal 5. Vagy tévedek?

Általános képlet van erre, de nehezebb mint egy egyszerű formula. Függ a gyöngyök számától is. Ha a gyöngyök számának legnagyobb közös osztója \(\displaystyle n\) akkor a formulában \(\displaystyle d(n)+2\) tag van, ahol \(\displaystyle d(n)\) az \(\displaystyle n\) szám osztóinak számát jelöli.

Keressük meg az összes lehetőséget, majd találjuk meg köztük az egyformákat.

Az egyszerűség kedvéért csökkentsük a lehetőségek számát a következőképpen. 3 piros és 5 fehér gyöngyöd van, ezért biztosan van valahol két fehér gyöngy egymás mellett úgy, hogy utána közvetlenül piros gyöngy van. Fűzzük ezért föl a karkötőket először nyitva egy irányított madzagra úgy, hogy a piros gyöngy legyen elől, a két fehér hátul. Csak tíz lehetőség marad (a fehér gyöngyöt jelölje u, a pirosat P):

PPPuuuuu, PPuPuuuu, PPuuPuuu, PPuuuPuu, PuPPuuuu, PuPuPuuu, PuPuuPuu, PuuPPuuu, PuuPuPuu, PuuuPPuu

De ezek között vannak olyanok, amik csak ciklikus eltolásban és esetleg tükrözésben különböznek, ezért gyöngysorként azonosnak kell tekinteni őket. Lehet, hogy ránézésre is meg tudod mondani, hány különböző van. Ha nem, akkor pontosan a következőképpen kell eljárni. Mindegyik nyitott gyöngysorhoz állítsd elő a 16 lehetséges ciklikus eltolását esetleg tükrözve, majd keresd ki ezek közül a lexikografikusan legkisebbet, amit a gyöngysor kanonikus formájának tekinthetünk.

Ebből látható, hogy pontosan öt különböző gyöngysor van:

PPPuuuuu, PPuPuuuu, PPuuPuuu, PuPuPuuu, PuPuuPuu