Fórum: Valaki mondja meg!

Próbáld meg a \(\displaystyle 3x2y+3xy2 \) kifejezést szorzattá alakítani úgy, hogy minden tényező az \(\displaystyle x \) és \(\displaystyle y \) változók egész együtthatós polinomja maradjon. Ha egész megoldásokat keresel, akkor ezeknek a tényezőknek az értéke is egész lesz, így mindegyiknek az értéke a \(\displaystyle 216 \) szám osztója. Ennek a számnak csak 32 osztója van, ezért így nagyon le tudod szűkíteni a lehetőségeket.

Sziasztok!
Szeretnék egy kis segítséget kérni a

\(\displaystyle 216=6^{3}=3x^{2}y+3xy^{2}\)

egyenlet egész megoldásainak megtalálásához. Grafikonról leolvastam
az \(\displaystyle x_1=1\), \(\displaystyle y_1=8\) illetve az \(\displaystyle x_2=8\), \(\displaystyle y_2=1\) egész megoldásokat.
Lenne olyan eljárás, amivel az egész megoldásokat megkaphatnám?
Hasonlóan, mint a sokkal egyszerűbb \(\displaystyle y=1/x\) esetén.

Talán megér egy ábrát a szabályos 18-szög alapú megoldás, mert a szokásos megközelítés - háromszög körülírt köre = 18-szög körülírt köre - nem túl célravezető.

Legyenek a szabályos 18-szög csúcsai \(\displaystyle P_0 … P_{17}\) , körülírt köre k, középpontja O. Helyezzük el háromszügünket úgy, hogy \(\displaystyle B = P_0\) és \(\displaystyle C = P_4\) legyen . k-ban a kisebb \(\displaystyle P_4 P_{12}\) ívhez tartozik 80 fokos kerületi szög, így a BA egyenes áthalad \(\displaystyle G= P_{12}\) -n. Hasonlóan a CA egyenes átmegy \(\displaystyle P_{10}\) -en. A kisebb \(\displaystyle P_4 P_{10}\) ívhez éppen 60 fokos kerületi szög tartozik, tehát \(\displaystyle E = P_{10}\). Mivel a \(\displaystyle P_{13} P_0\) ívhez tartozik 50 fokos kerületi szög, a CB-vel 50 fokos szöget bezáró egyenes a \(\displaystyle P_4 P_{13} = CH\) átmérő, ennek metszéspontja AB-vel F. A \(\displaystyle P_{12} P_{15} = GI\) és a \(\displaystyle P_{15} P_0 = IB\) ívekhez 60 fokos középponti szög tartozik, OGI és IBO szabályos háromszögek, OGIB rombusz, középpontja legyen K. \(\displaystyle FOK \angle = HOI \angle = P_{13} O P_{15} \angle = 40^o \). IKF és OKF egybevágó derékszögű \(\displaystyle \Delta\)-ek, IF egyenes OF = CF tükörképe AB-re . \(\displaystyle KIF \angle = OIF \angle = P_{6}IF \angle = 40^o\). 40 fokos kerületi szög éppen a \(\displaystyle P_6 P_{10}\) ívhez tartozik, IF tehát átmegy \(\displaystyle P_{10}\) -en , ez feladatunk EF egyenese. A keresett \(\displaystyle x = FEB \angle = IEB \angle = P_{15} P_{10} P_0 \angle = 30^o\).

geogebra téma: Lineáris fv. ábrázolása (y=mx+b).Minden rendben lenne az m és b csúszkákkal változtathatók. De nem tudom a meredekségi háromszöget beszerkeszteni. Elvileg a fv.görbére egyenest kellene rendelni és a meredekség paranccsal meg kell jelenni a kis háromszögnek.Minden próbálkozásomat szintaktikai hibával dobja vissza. Kérek segítséget.Mi az a 2-3 lépés amivel tovább tudok menni? Közben azt is tapasztaltam, hogy a függvényre tett egyenes leállítja a változtatási lehetőséget.köszönöm.nagyapa.

Ellent kell mondanom. Vonka Vilmos Úr javaslata tiszta, elemi megoldáshoz vezet, szinuszok nélkül.

Ez ugyancsak a sinx/siny=sin30∘/sin110∘ összefüggéshez vezet.

Kiindulás egy elemi megoldáshoz: tekintsd azt a \(\displaystyle D\) pontot az \(\displaystyle AC\) oldalon, amelyre a \(\displaystyle DBC\) szög 20 fokos.

Burnside-lemma egy permutációcsoportban. Az orbitok száma megegyezik a fixpontok átlagos számával. A képlet a gyöngyfűzéseket az \(\displaystyle N\)-szög szimmetriái szerint sorolja fel, összeadja azok fixpontjait, és utána átlagolja \(\displaystyle 2N\)-nel. Az \(\displaystyle A\) szám a tükrözések általi fixpontokat jelzi. Nyilván, ha van legalább két páratlan számú szín, akkor nincs tükörszimmetrikus gyöngyfűzés, stb.

Köszi w, azt hittem, hogy erre az eleminek tűnő feladatnak épp olyan elemi megoldása van, mint amilyennek tűnik, mert a sinx/siny= sina/sinb ha x+y= a+b alapján x=a és y=b következik, nehezebbnek tűnik bizonyítani mint az eredeti feladat.

Hát ez igen Csábos! Erre nem számítottam, hiszen én mind azt hittem, hogy az ismétléses permutáció képletéből kiindulva, valahogyan le lehet vezetni az általánosabb esetet bár két színű golyóra, de ezek a képletek nagyon jól tükrözik a feladat általánosításának a komplexitását. valami szakirodalmi forrásanyagot tudsz-e adni, ahol ezzel az általános problémával foglalkoznak?