Fórum: Valaki mondja meg!

Középiskolában tanítják (tanítom) a visszatevés nélküli mintavételt és a visszatevéses mintavételt. A visszatevés nélküli mintavétel azt jelenti, hogy egy alapsokaságból egyszerre kiveszek valamennyi elemet, és a kivett elemeket tekintem egy mintának. A visszatevéses mintavétel azt jelenti, hogy az alapsokaságból valamennyiszer véletlenszerűen kiveszek egy elemet, és a kivett elemet mindig visszateszem. És azt is tudjuk, hogy a reprezentatív minta valószínűsége a legnagyobb, mint a visszatevéses mintavétel esetében, mind a visszatevés nélküli mintavétel esetében. DE!!! Tekintsük a következő példát:

Van 10 darab fehér golyó, 20 darab világosszürke golyó, 30 darab sötétszürke golyó, 40 darab fekete golyót. Most úgy készítek egy 50 elemű mintát, hogy kiveszek 5 darab golyót, megnézem ezt az 5 golyót, visszateszem az alapsokaságba, elkeverem az alapsokaságot, megint kiveszek 5 darab golyót,.... ezt 10-szer csinálom meg. Tulajdonképpen ez is visszatevéses mintavétel, csak a mintavétel 5-ösével történik. Ilyenkor milyen összetételű minta a legvalószínűbb, és mennyi ennek a valószínűsége?

Szerintem nincs neki egyszerű zárt alakja, de nem vagyok ebben teljesen biztos.

Keresem az \(\displaystyle a_{n+1}=\sqrt{2a_n+3}\), \(\displaystyle a_1=4\) sorozat explicit alakját. Minden segítséget előre is köszönök! Amit tudok, az hogy a sorozat határértéke 3, és szigorúan monoton csökkenő. Tisztelettel: Bertalan Zoltán.

A két példád között különbség van, és a lényeg a kiválasztási axióma szerepe.

A transzcendens számok halmaza egy konkrét, a kiválasztási axióma használata nélkül is jól megadható halmaz. Az \(\displaystyle \mathbb{R}\)-rel való megfelelést sem nehéz kitalálni, ehhez elég az algebrai számok egy felsorolása, de még felsorolás nélkül sem nehéz.

A bázis esetében a nehézség nem a bijekcióval kezdődik, hanem azzal, hogy melyik bázisról van szó a \(\displaystyle 2^{2^{\aleph_0}}\) lehetőség közül. Azt, hogy egyáltalán létezik bázis, a Zorn-lemmából, vagy a kiválasztási axióma valamelyik más ekvivalens formájából szoktuk bizonyítani. Ha mondasz egy konkrét bázist, én majd mondok hozzá egy konkrét bijekciót az \(\displaystyle \mathbb{R}\)-rel... :-)

Nem is ezzel van a problémám, hogy oda-vissza létezik kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés a valós számok halmaza és egy adott kontinuum-számosságú halmaz között. Hanem azzal, hogy egy adott kontinuum-számosságú halmaz és a valós számok halmaza között nem tudok egy konkrét megfeleltetést létesíteni.

Pl. A transzcendens számok kontinuum-számosságú halmazt alkotnak. Adjunk meg konkrétan egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést a transzcendens számok és a valós számok között.

Pl. Tekintsük a valós számokat mint a racionális számok feletti vektorteret. Ekkor ennek a vektortérnek van bázisrendszere, és ennek a bázisrendszernek az elemszáma kontinuum-számosságú. Adjunk meg egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést ezen bázisrendszer és a valós számok között.

Tehát, ha van egy kontinuum számosságú \(\displaystyle K\) halmazunk, akkor van \(\displaystyle f:\mathbb{R}\to K\) bijekció is.

Az \(\displaystyle \mathbb{R}\)-et \(\displaystyle n\) kontinuum számosságú részre osztjuk — mondjuk \(\displaystyle n\) diszjunkt intervallumra: \(\displaystyle \mathbb{R}=R_1\cup\dots\cup R_n\). Ezután részhalmazokat visszaképezzük az eredeti halmazba:

\(\displaystyle K = f(R_1) \cup \ldots \cup f(R_n). \)

Én egy halmaz kontinuum-számosságát úgy értelmezem, hogy van kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés a halmaz elemei és a valós számok között.

Kezdjük az elején. Egy "kontinuum számosságú halmazt..."

Mit jelent az, hogy egy halmaz kontinuum számosságú? :-)

Nekem elég, ha egy ellenség által megadott kontinuumszámosságú halmazt egy konkrét algoritmussal két kontinuumszámosságú részre osztjuk. (Nyilván a két rész metszete üres halmaz, és a két rész uniója az ellenség által megadott kontinuumszámosságú halmaz.)

\(\displaystyle m_1=2\rm{kg}\), \(\displaystyle m_2=1\rm{kg}\), \(\displaystyle g=10\rm{méter/sec^2}\), \(\displaystyle \alpha=60°\), \(\displaystyle \mu=0,2\).

Legyen \(\displaystyle F_{tartó}\) a lejtő által kifejtett, az \(\displaystyle m_1\) testre ható tartóerő, ez az erő a lejtő felületére merőleges, és az ábra szerint ferdén balra és felfelé mutat. Az \(\displaystyle m_1\) testre hat az \(\displaystyle G_1=m_1g\) súlyerő, ennek az iránya függőlegesen lefelé mutat. Ezt az erőt érdemes a lejtővel párhuzamos \(\displaystyle G_{1párh}=m_1g*\sin(\alpha)\) és \(\displaystyle G_{1mer}=m_1g*\cos(\alpha)\) erőkre bontani. Az \(\displaystyle m_1\) testre hat még a \(\displaystyle K\) kötélerő, ennek iránya a lejtővel párhuzamos, és az ábra szerint jobbra és felfelé mutat a csiga irányába. Az \(\displaystyle m_1\) testre hat még az \(\displaystyle S\) súrlódási erő, amelynek iránya a lejtővel párhuzamos, az \(\displaystyle m_1\) test mozgásával ellentétes. Az \(\displaystyle m_2\) testre hat a \(\displaystyle G_2=m_2g\) súlyerő, ennek iránya függőlegesen lefelé mutat. Az \(\displaystyle m_2\) tömegű testre hat a \(\displaystyle K\) kötélerő, ennek iránya függőlegesen felfelé mutat.

Az \(\displaystyle m_1\) tömegű test a lejtőre merőlegesen nem mozog, ezért a rá ható és a lejtőre merőleges erők kiegyenlítik egymást, azaz \(\displaystyle F_{tartó}=G_{1mer}\) azaz \(\displaystyle F_{tartó}=m_1g*\cos(\alpha)\). A súrlódási erő definíciója miatt \(\displaystyle S=\mu*F_{tartó}=\mu*m_1g*\cos(\alpha)\) Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle m_1\) test a lejtőn felfelé az \(\displaystyle m_2\) test függőlegesen lefelé gyorsul. Ekkor az \(\displaystyle m_1\) testre ható \(\displaystyle S\) súrlódási erő iránya a lejtőn lefelé mutat. A két test gyorsulásának nagysága egyenlő, legyen \(\displaystyle a\) a két test gyorsulásának nagysága.

Alkalmazva Newton II. törvényét a két testre:

\(\displaystyle m_1a=K-G_{1párh}-S=K-m_1g*\sin(\alpha)-\mu*m_1g*\cos(\alpha)\)

\(\displaystyle m_2a=G_2-K=m_2g-K\)

Ekkor \(\displaystyle a=-3,1068\rm{méter/sec^2}\) és \(\displaystyle K=13,1068\rm{Newton}\) adódik. Mivel \(\displaystyle a\) értéke negatív, ezért hibás volt az a feltételezés, hogy az \(\displaystyle m_1\) test a lejtőn felfelé, az \(\displaystyle m_2\) test a lejtőn lefelé gyorsul.

Most tegyük fel, hogy az \(\displaystyle m_1\) test a lejtőn lefelé az \(\displaystyle m_2\) test függőlegesen felfelé gyorsul. Ekkor az \(\displaystyle m_1\) testre ható \(\displaystyle S\) súrlódási erő iránya a lejtőn felfelé mutat. A két test gyorsulásának nagysága egyenlő, legyen \(\displaystyle a\) a két test gyorsulásának nagysága.

Alkalmazva Newton II. törvényét a két testre:

\(\displaystyle m_1a=K-G_{1párh}-S=m_1g*\sin(\alpha)-K-\mu*m_1g*\cos(\alpha)\)

\(\displaystyle m_2a=G_2-K=K-m_2g\)

Ekkor \(\displaystyle a=1,7735\rm{méter/sec^2}\) és \(\displaystyle K=11,7735\rm{Newton}\) adódik.